方法选择

我们可以根据题干的表述，选择上述三种方法，快速解题，小题小做。

直接做商法

何时及如何使用？

对于几个确定的数，如果这几个数均具有相同的形式（如都使用log 表示），那么我们可以直接做商得到大小关系，或和选取的基准数比较大小。详见例题。

（2020年全国II卷文科第10题）已知a = log₃2, b = log₅3, $c=\dfrac{2}{3}$，则
$\begin{align} \text{A.} a<c<b \quad &\text{B.}a<b<c\\ \text{C.}b<c<a \quad &\text{D.}c<a<b \end{align}$
解析
$\dfrac{a}{c}=\dfrac{3\ln2}{2\ln3}=\dfrac{\ln8}{\ln9}<1$
$\dfrac{b}{c}=\dfrac{3\ln3}{2\ln5}=\dfrac{\ln27}{\ln25}>1$
∴ b > c > a
（2021年新高考II卷第7题）已知a = log₅2, b = log₈3, $c=\dfrac{1}{2}$，则下列判断正确的是
$\begin{align} \text{A.} c<b<a \quad &\text{B.} b<a<c\\ \text{C.} a<c<b \quad &\text{D.} a<b<c \end{align}$
解析
$\begin{aligned}&a=\log_{5}2=\dfrac{\ln2}{\ln5}<\dfrac{\ln2}{\ln4}=\dfrac{1}{2}\\&b=\log_{8}3=\dfrac{\ln3}{\ln8}>\dfrac{\ln3}{\ln9}=\dfrac{1}{2}\\&\therefore a<c<b\end{aligned}$
（2020年全国III卷理科第12题）已知5⁵ < 8⁴ < 13⁴ < 8⁵。设a = log₅3, b = log₈5, c = log₁₃8，则
$\begin{align} \text{A.} a<b<c \quad &\text{B.} b<a<c\\ \text{C.} b<c<a \quad &\text{D.} c<a<b \end{align}$
解析
由5⁵ < 8⁴及b = log₈5，得5b = log₈5⁵， < log₈8⁴ = 4，从而$b<\dfrac{4}{5}$。
由13⁴ < 8⁵及c = log₁₃8，则4 = log₁₃13⁴ < log₁₃8⁵ = 5c，所以$c>\dfrac{4}{5}$。所以$c>\dfrac{4}{5}>b$。
又a = log₅3 > 0，$b=\dfrac{1}{\log_{5}8}>0$，所以$\dfrac{a}{b}$ = log₅3 ⋅ log₅8$<\left(\dfrac{\log_{5}3+\log_{5}8}{2}\right)^{2}$$=\dfrac{(\log_{5}24)^{2}}{4}$$<\dfrac{(\log_{5}25)^{2}}{4}=1$，所以a < b。
综上，a < b < c。
（2019年全国I卷第3题）已知a = log₂0.2, b = 2^0.2, c = 0.2^0.3则
$\begin{align} \text{A.} a<b<c \quad &\text{B.} a<c<b\\ \text{C.} c<a<b \quad &\text{D.} b<c<a \end{align}$
解析
a < 0 < c < 0.2⁰ = 1 = 2⁰ < b

泰勒展开法

我为什么建议你记泰勒公式

熟记的情况下，泰勒公式做“比大小”的题比常规方法快，无需复杂计算，且可以三个数一起比较，而无需两两单独比较。详见例题。
高考曾多次以泰勒公式为背景命题，试题涵盖多种类型。除了本文中的应用，泰勒公式还可用于函数导数题目，详见此前推送。
高中本科衔接。无论是985还是211大学，大部分理工科专业的培养方案均包含《高等数学》，而泰勒公式作为其中的基础内容，一般会在大一上学期的通识课中正式介绍。

何时及如何使用？

对于几个确定的数，如果这几个数均具有不同的形式（如，有log ，指数/幂，三角函数），那么我们可以直接对该数进行泰勒展开。

当x → 0时（如x = ±0.1或±0.01或±0.02，等等），

$e^{x}=1+x+ \dfrac{x^{2}}{2!}+ \dfrac{x^{3}}{3!}+ \cdots$
$\ln \left(1+x\right)=x- \dfrac{1}{2}x^{2}+ \dfrac{1}{3}x^{3}- \dfrac{1}{4}x^{4} \cdots$
$(1+x)^{}= 1 + x $$+\dfrac { \alpha ( \alpha - 1 ) } { 2 ! } x ^ { 2 }$$+ {3!} x ^ { 2 } + $
$\sin x=x- \dfrac{x^{3}}{3!}+ \dfrac{x^{5}}{5!} \cdots$
$\cos x=1- \dfrac{x^{2}}{2!}+ \dfrac{x^{4}}{4!}- \dfrac{x^{6}}{6!} \cdots$
$\tan x=x+ \dfrac{x^{3}}{3}+ \dfrac{2}{15}x^{5}+o\left(x^{5}\right)$

其中，e^x、ln (1 + x)、(1 + x)^α和sin x这四个函数的展开式最为常用，需熟练使用。cos x的展开可通过sin x的展开求导得到，无需单独记忆。tan x在高中阶段较少涉及，可选择记忆。

一般来说，展开到第3项即可得出答案。具体的使用方法，参见第1题解析。

（2022年新高考I卷第7题）设a = 0.1e^0.1, $b=\dfrac{1}{9}$, c = −ln 0.9，则
$\begin{aligned} \text{A.} a<b<c \quad &\text{B.} c<b<a\\ \text{C.} c<a<b \quad &\text{D.} a<c<b \end{aligned}$
详细解析、说明及注释
对于a，我们取x = 0.1，展开e^0.1：
$\begin{aligned} a&=0.1\:e^{0.1}\\ &=0.1(1+0.1+\dfrac{0.1^2}{2!})\\ &=0.1+0.01+\dfrac{0.001}{2}+\cdots \end{aligned}$
对于c，我们取x = −0.1，展开ln (1 − 0.1)：
$\begin{aligned} c&=-\ln0.9=-\ln(1-0.1)\\ &=-\left((-0.1)-\dfrac{(-0.1)^2}{2}+\cdots\right)\\ &=0.1+\dfrac{0.01}{2}+\cdots \end{aligned}$
对于b，由于分母为9，我们直接将循环小数展开（此处不需要泰勒公式）：
$b=\dfrac{1}{9}=0.\dot{1}=0.1+0.01+0.001+\cdots$
接下来比较大小。为了方便观察，我们先在草稿纸上对齐了写一遍：
$\begin{alignat}{4} a&=0.1+&&0.01+&&&\dfrac{0.001}{2}+&&&&\cdots\\ b&=0.1+&&0.01+&&&0.001+&&&&\cdots\\ c&=0.1+&&\dfrac{0.01}{2}+&&&\cdots&&&& \end{alignat}$
对于a和c，第一项0.1相同，比较第二项：
$\because0.01>\dfrac{0.01}{2},\therefore a>c$.
对于a和b，第一、二项相同，比较第三项：
$\because0.001>\dfrac{0.001}{2},\therefore b>a$.
综上，b > a > c.
【说明】比较时，从展开式的第一项开始比较，只要遇到大小不相同的项，即可判断原数大小。
换句话说，考生无需考虑“即使该项较小，但后面加的会不会使原数更大”的问题——答案是必然不会，因为后一项比前一项小得多（规范表述为：后一项是前一项的高阶无穷小），所以后一项及之后的影响可忽略不计。
例如，若比较1 + 0.1 + 0.005 + ⋯和1 + 0.3 + 0.002 + ⋯，我们只需比较0.1和0.3即知后者大。因为0.005和0.002太小了，它俩谁大谁小已不重要。
【注】有学生问，“这几个数看上去没啥关系，但按计算器发现数值上很接近，命题组是怎么想到的这三个数？”本源就在这里。无论是指对幂还是三角函数，统统都可以用泰勒公式展开成多项式相加的形式。命题时，只要保证展开式的前一或两项相同，最后的得数就接近。知道了这一点，相信你也可以出类似的题吧？（毕竟先射箭后画靶，还是不难的）快来评论区分享你出的题吧！
（2022年全国甲卷12题）已知$a=\dfrac{31}{32}$, $b=\cos\dfrac{1}{4}$, $c=\sin\dfrac{1}{4}$，则()
$\begin{align} \text{A.} c>b>a \quad &\text{B.} b>a>c\\ \text{C.} a>b>c \quad &\text{D.} a>c>b \end{align}$
解析
$a=1-\dfrac{1}{32}$
$\begin{aligned} b&=\cos\dfrac{1}{4}=1-\dfrac{(\frac{1}{4})^{2}}{2!}+\dfrac{(\frac{1}{4})^{4}}{4!}+\cdots\\ &=1-\frac{1}{32}+\frac{1}{4^{4}\times4!}+\cdots \end{aligned}$
$\begin{aligned} c&=4\sin\dfrac{1}{4}=4\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4^{3}\times3!}+\cdots\right) \\ &=1-\frac{1}{96}+\cdots \end{aligned}$
$\because\dfrac{1}{4^{4}\times4!}>0,\therefore b>a$
$\because-\dfrac{1}{96}>-\dfrac{1}{32},\therefore c>b$
综上，c > b > a.
（2021年全国乙卷第12题）设a = 2ln 1.01, b = ln 1.02, $c=\sqrt{1.04}-1$，则
$\begin{align} \text{A.} a<b<c \quad &\text{B.} b<c<a\\ \text{C.} b<a<c \quad &\text{D.} c<a<b \end{align}$
解析
$\begin{aligned} a&=2\ln1.01=2\ln(1+0.01)\\ &=2(0.01-\frac{0.01^{2}}{2}+\cdots) \\ &=0.02-0.0001+\cdots \end{aligned}$
$\begin{aligned} b&=\ln1.02=\ln(1+0.02) \\ &=0.02-0.0002+\frac{8}{3}\times10^{-6}+\cdots \end{aligned}$
$\begin{aligned} c&=\sqrt{1.04}-1=(1+0.04)^{\frac{1}{2}}-1\\ &=0.02-0.0002+4\times10^{-6}+\cdots \end{aligned}$
∴ a > c > b.

构造函数法

何时及如何使用？

如果题干给的就是隐函数的表达形式，我们直接根据题干构造函数。

（2020年全国I卷理科第12题）若2^a + log₂a = 4^b + 2log₄b，则
$\begin{align} \text{A.} a>2b \quad &\text{B.} a<2b\\ \text{C.} a>b^{2} \quad &\text{D.} a<b^{2} \end{align}$
解析
令f(x) = 2^x + log₂x，
因为2^x在(0， + ∞)上单调递增，log₂x在(0， + ∞)上单调递增，
所以f(x) = 2^x + log₂x在(0， + ∞)上单调递增。
又2^a + log₂a = 4^b + 2log₄b = 2^2b + log₂b < 2^2b + log₂(2b)，
所以f(a) < f(2b)，
所以a < 2b。故选B.
（2020年全国II卷第11题）若2^x − 2^y < 3^−x − 3^−y，则：
$\begin{align} &\text{A.} \ln(y - x + 1)> 0 &\text{B.} \ln(y - x + 1)< 0\\ &\text{C.} \ln | x - y | > 0 &\text{D.} \ln | x - y | < 0 \end{align}$
解析
本题考查函数的单调性以及对数值正负的判断。
由2^x − 2^y < 3^−x − 3^−y，
可得2^x − 3^−x < 2^y − 3^−y。
设f(x) = 2^x − 3^−x，
易知f(x)在ℝ上为增函数。
又f(x) < f(y)，所以x < y。
则y − x + 1 > 1，
所以ln (y − x + 1) > 0，
故A正确，B错误。
而当x = 1, y = 2时，
ln |x − y| = 0，故C，D错误。
故选A。