二项式定理和杨辉三角

二项式定理

$$\left( a+b \right)^{n} =\sum_{r=0}^{n}{C_{n}^{r}a^{n-r}b^{r}} =C_{n}^{0}a^{n}+C_{n}^{1}a^{n-1}b+\cdots +C_{n}^{r}a^{n-r}b^{r}+\cdots+C_{n}^{n}b^{n} (n\in\mathbb{N}^{*})$$

等式右边即为(a + b)ⁿ的二项展开式，它共有n + 1项。

第r + 1项 T_r + 1 = C_n^ra^n − rb^r (a,b不能调换位置)

C_n^r（r = 0, 1, 2, ⋯, n）叫做第r + 1项的二项式系数

杨辉三角

我们首先来直观感受一下，当项数n较小时，二项式定理的展开式：

$$(x+y)^{0}=\textcolor{var(--bgcolor)}{1}$$ $$(x+y)^{1}=\textcolor{var(--bgcolor)}{1}x+\textcolor{var(--bgcolor)}{1}y$$ $$(x+y)^{2}=\textcolor{var(--bgcolor)}{1}x^{2}+\textcolor{var(--bgcolor)}{2}xy+\textcolor{var(--bgcolor)}{1}y^{2}$$ $$(x+y)^{3}=\textcolor{var(--bgcolor)}{1}x^{3}+\textcolor{var(--bgcolor)}{3}x^{2}y+\textcolor{var(--bgcolor)}{3}xy^{2}+\textcolor{var(--bgcolor)}{1}y^{3}$$ $$(x+y)^{4}=\textcolor{var(--bgcolor)}{1}x^{4}+\textcolor{var(--bgcolor)}{4}x^{3}y+\textcolor{var(--bgcolor)}{6}x^{2}y^{2}+\textcolor{var(--bgcolor)}{4}xy^{3}+\textcolor{var(--bgcolor)}{1}y^{4}$$ ⋯⋯

当我们把每个式子的二项式系数单独拿出来，我们就构成了“杨辉三角”。

1 1   2   1 1   3   3   1 1   4   6   4   1 1   5   10   10   5   1 1   6   15   20   15   6   1 1   7   21   35   35   21   7   1 ⋯⋯

杨辉三角最显著的特性就是，每个数是它左上方和右上方的数的和。这就是帕斯卡恒等式。利用帕斯卡恒等式，我们可以很轻松地画出杨辉三角，同时写出二项式的展开式，而免去计算排列组合数（C_n^r）。

杨辉三角

此外，杨辉三角本身还有很多性质。下面，本文主要探索二项式定理的性质，杨辉三角的性质请读者自行了解。

性质

帕斯卡恒等式

C_n + 1^k = C_n^k + C_n^k − 1(n, k ∈ ℕ^*, n ≥ k)

对称性

C_n^k = C_n^n − k

证明

方法（一） 直接由定义 $$C_{n}^{k}=\dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+2)(n-k+1)}{k!}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$$

$$C_{n}^{n-k}=\dfrac{n(n-1)\cdots(k+1)}{(n-k)!} =\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$$

方法（二） 注意到组合学上的意义，从n个元素中选k个元素，与从 n 个元素中选出n − k个元素再剔除掉，保留剩下k个是等价的。

方法（三） 从杨辉三角可以看出，每行数都是左右对称的。

单峰性

n为偶数时， C_n⁰ < C_n¹ < ⋯ < C_n^{n/2 − 1} < C_n^n/2, C_n^n/2 > C_n^n/2 + 1 > ⋯ > C_n^n − 1 > C_nⁿ

n为奇数时， C_n⁰ < C_n¹ < ⋯ < C_n^{(n − 1)/2} = C_n^{(n + 1)/2}, C_n^{(n − 1)/2} = C_n^{(n + 1)/2} > ⋯ > C_n^n − 1 > C_nⁿ

证明

令1 ≤ k ≤ n，

$\dfrac{C_{n}^{k}}{C_{n}^{k-1}} =\cfrac{\cfrac{n!}{k!(n-k)!}}{\cfrac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}} =\dfrac{n-k+1}{k}$

1. 当n为偶数时

   若$k\leq\dfrac{n}{2}$, $n-k+1\geq n-\dfrac{n}{2}+1>\dfrac{n}{2}\geq k$, 这就得到C_n^k > C_n^k − 1

   若$k\geq\dfrac{n}{2}+1$, $n-k+1\leq n-(\dfrac{n}{2}+1)+1=\dfrac{n}{2} < k$, 这就得到C_n^k < C_n^k − 1

2. 当n为奇数时

   若$k=\dfrac{n+1}{2}$, $n-k+1=n-\dfrac{n+1}{2}+1=\dfrac{n+1}{2}=k$, 这就得到C_n^{(n − 1)/2} = C_n^{(n + 1)/2}

   若$k\leq\dfrac{n-1}{2}$, $n-k+1\geq n-\dfrac{n-1}{2}+1>\dfrac{n+1}{2}\geq k$, 这就得到C_n^k > C_n^k − 1

   若$k > \dfrac{n+1}{2}$ $n-k+1 < n-\dfrac{n+1}{2}+1=\dfrac{n+1}{2} < k$ 这就得到C_n^k < C_n^k − 1

和为2ⁿ

$$\sum_{r=0}^{n}{C_{n}^{r}}= C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+\cdots+C_{n}^{n}=2^{n}$$

证明

一个n元素集合恰好有2ⁿ个子集（子集的集合也即幂集）

每个子集可能有0个元素、1个元素、…、n个元素

具有0个元素的子集有C_n⁰个 具有1个元素的子集有C_n¹个 具有2个元素的子集有C_n²个 … 具有n个元素的子集有C_nⁿ个

$\sum_{r=0}^{n}{C_{n}^{r}} =C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+\cdots+C_{n}^{n}$即是该n元素集合的子集的个数，等于2ⁿ

奇数项和等于偶数项和

$$\sum_{r=0}^{n}{\left( -1 \right)^{k}C_{n}^{r}}= C_{n}^{0}-C_{n}^{1}+\cdots+\left( -1 \right)^{n}C_{n}^{n} =0$$

3ⁿ定理

$\sum_{r=0}^{n}{2^{r}C_{n}^{r}}= C_{n}^{0}+2C_{n}^{1}+\cdots+2^{n}C_{n}^{n}=3^{n}$