二项式定理和杨辉三角

二项式定理

(a+b)n=n∑r=0Crnan−rbr=C0nan+C1nan−1b+⋯+Crnan−rbr+⋯+Cnnbn(n∈N∗)

等式右边即为(a+b)n的二项展开式，它共有n+1项。

第r+1项 Tr+1=Crnan−rbr (a,b不能调换位置)

Crn（r=0,1,2,⋯,n）叫做第r+1项的二项式系数

杨辉三角

我们首先来直观感受一下，当项数n较小时，二项式定理的展开式：

(x+y)0=1

(x+y)1=1x+1y

(x+y)2=1x2+2xy+1y2

(x+y)3=1x3+3x2y+3xy2+1y3

(x+y)4=1x4+4x3y+6x2y2+4xy3+1y4

⋯⋯

当我们把每个式子的二项式系数单独拿出来，我们就构成了“杨辉三角”。

1

121

1331

14641

15101051

1615201561

172135352171

⋯⋯

杨辉三角最显著的特性就是，每个数是它左上方和右上方的数的和。这就是帕斯卡恒等式。利用帕斯卡恒等式，我们可以很轻松地画出杨辉三角，同时写出二项式的展开式，而免去计算排列组合数（Crn）。

杨辉三角

此外，杨辉三角本身还有很多性质。下面，本文主要探索二项式定理的性质，杨辉三角的性质请读者自行了解。

性质

帕斯卡恒等式

Ckn+1=Ckn+Ck−1n(n,k∈N∗,n≥k)

对称性

Ckn=Cn−kn

证明

方法（一） 直接由定义 Ckn=n(n−1)⋯(n−k+2)(n−k+1)k!=n!k!(n−k)!

Cn−kn=n(n−1)⋯(k+1)(n−k)!=n!k!(n−k)!

方法（二） 注意到组合学上的意义，从n个元素中选k个元素，与从 n 个元素中选出n−k个元素再剔除掉，保留剩下k个是等价的。

方法（三） 从杨辉三角可以看出，每行数都是左右对称的。

单峰性

n为偶数时， C0n<C1n<⋯<Cn/2−1n<Cn/2n, Cn/2n>Cn/2+1n>⋯>Cn−1n>Cnn

n为奇数时， C0n<C1n<⋯<C(n−1)/2n=C(n+1)/2n, C(n−1)/2n=C(n+1)/2n>⋯>Cn−1n>Cnn

证明

令1≤k≤n，

CknCk−1n=n!k!(n−k)!n!(k−1)!(n−k+1)!=n−k+1k

1. 当n为偶数时

   若k≤n2, n−k+1≥n−n2+1>n2≥k, 这就得到Ckn>Ck−1n

   若k≥n2+1, n−k+1≤n−(n2+1)+1=n2<k, 这就得到Ckn<Ck−1n

2. 当n为奇数时

   若k=n+12, n−k+1=n−n+12+1=n+12=k, 这就得到C(n−1)/2n=C(n+1)/2n

   若k≤n−12, n−k+1≥n−n−12+1>n+12≥k, 这就得到Ckn>Ck−1n

   若k>n+12 n−k+1<n−n+12+1=n+12<k 这就得到Ckn<Ck−1n

和为2n

n∑r=0Crn=C0n+C1n+⋯+Cnn=2n

证明

一个n元素集合恰好有2n个子集（子集的集合也即幂集）

每个子集可能有0个元素、1个元素、…、n个元素

具有0个元素的子集有C0n个 具有1个元素的子集有C1n个 具有2个元素的子集有C2n个 … 具有n个元素的子集有Cnn个

∑nr=0Crn=C0n+C1n+⋯+Cnn即是该n元素集合的子集的个数，等于2n

奇数项和等于偶数项和

n∑r=0(−1)kCrn=C0n−C1n+⋯+(−1)nCnn=0

3n定理

∑nr=02rCrn=C0n+2C1n+⋯+2nCnn=3n