二项式定理

\[\left( a+b \right)^{n} =\sum_{r=0}^{n}{C_{n}^{r}a^{n-r}b^{r}} =C_{n}^{0}a^{n}+C_{n}^{1}a^{n-1}b+\cdots +C_{n}^{r}a^{n-r}b^{r}+\cdots+C_{n}^{n}b^{n} (n\in\mathbb{N}^{*})\]

等式右边即为\(\left( a+b \right)^{n}\)的二项展开式，它共有\(n+1\)项。

第\(r+1\)项 \(T_{r+1}=C_{n}^{r}a^{n-r}b^{r}\) (\(a\),\(b\)不能调换位置)

\(C_{n}^{r}\)（\(r=0,1,2,\cdots,n\)）叫做第\(r+1\)项的二项式系数

杨辉三角

我们首先来直观感受一下，当项数\(n\)较小时，二项式定理的展开式：

\[(x+y)^{0}=\textcolor{var(--bgcolor)}{1}\] \[(x+y)^{1}=\textcolor{var(--bgcolor)}{1}x+\textcolor{var(--bgcolor)}{1}y\] \[(x+y)^{2}=\textcolor{var(--bgcolor)}{1}x^{2}+\textcolor{var(--bgcolor)}{2}xy+\textcolor{var(--bgcolor)}{1}y^{2}\] \[(x+y)^{3}=\textcolor{var(--bgcolor)}{1}x^{3}+\textcolor{var(--bgcolor)}{3}x^{2}y+\textcolor{var(--bgcolor)}{3}xy^{2}+\textcolor{var(--bgcolor)}{1}y^{3}\] \[(x+y)^{4}=\textcolor{var(--bgcolor)}{1}x^{4}+\textcolor{var(--bgcolor)}{4}x^{3}y+\textcolor{var(--bgcolor)}{6}x^{2}y^{2}+\textcolor{var(--bgcolor)}{4}xy^{3}+\textcolor{var(--bgcolor)}{1}y^{4}\] \[\cdots\cdots\]

当我们把每个式子的二项式系数单独拿出来，我们就构成了“杨辉三角”。

\[1\] \[1\qquad2\qquad1\] \[1\qquad3\qquad3\qquad1\] \[1\qquad4\qquad6\qquad4\qquad1\] \[1\qquad5\qquad10\qquad10\qquad5\qquad1\] \[1\qquad6\qquad15\qquad20\qquad15\qquad6\qquad1\] \[1\qquad7\qquad21\qquad35\qquad35\qquad21\qquad7\qquad1\] \[\cdots\cdots\]

杨辉三角最显著的特性就是，每个数是它左上方和右上方的数的和。这就是帕斯卡恒等式。利用帕斯卡恒等式，我们可以很轻松地画出杨辉三角，同时写出二项式的展开式，而免去计算排列组合数（\(C_{n}^{r}\)）。

此外，杨辉三角本身还有很多性质。下面，本文主要探索二项式定理的性质，杨辉三角的性质请读者自行了解。

性质

帕斯卡恒等式

\[C_{n+1}^{k}=C_{n}^{k}+C_{n}^{k-1} (n,k\in\mathbb{N}^{*}, n\geq k)\]

对称性

\[C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}\]

证明

方法（一） 直接由定义 \[C_{n}^{k}=\dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+2)(n-k+1)}{k!}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\]

\[C_{n}^{n-k}=\dfrac{n(n-1)\cdots(k+1)}{(n-k)!} =\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\]

方法（二） 注意到组合学上的意义，从\(n\)个元素中选\(k\)个元素，与从 \(n\) 个元素中选出\(n-k\)个元素再剔除掉，保留剩下\(k\)个是等价的。

方法（三） 从杨辉三角可以看出，每行数都是左右对称的。

单峰性

\(n\)为偶数时， \(C_{n}^{0} < C_{n}^{1} < \cdots < C_{n}^{n/2-1} < C_{n}^{n/2}\), \(C_{n}^{n/2} > C_{n}^{n/2+1} > \cdots > C_{n}^{n-1} > C_{n}^{n}\)

\(n\)为奇数时， \(C_{n}^{0} < C_{n}^{1} < \cdots < C_{n}^{(n-1)/2}=C_{n}^{(n+1)/2}\), \(C_{n}^{(n-1)/2}=C_{n}^{(n+1)/2}>\cdots>C_{n}^{n-1}>C_{n}^{n}\)

证明

令\(1\leq k\leq n\)，

\(\dfrac{C_{n}^{k}}{C_{n}^{k-1}} =\cfrac{\cfrac{n!}{k!(n-k)!}}{\cfrac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}} =\dfrac{n-k+1}{k}\)

当\(n\)为偶数时
若\(k\leq\dfrac{n}{2}\), \(n-k+1\geq n-\dfrac{n}{2}+1>\dfrac{n}{2}\geq k\), 这就得到\(C_{n}^{k}>C_{n}^{k-1}\)
若\(k\geq\dfrac{n}{2}+1\), \(n-k+1\leq n-(\dfrac{n}{2}+1)+1=\dfrac{n}{2} < k\), 这就得到\(C_{n}^{k} < C_{n}^{k-1}\)
当\(n\)为奇数时
若\(k=\dfrac{n+1}{2}\), \(n-k+1=n-\dfrac{n+1}{2}+1=\dfrac{n+1}{2}=k\), 这就得到\(C_{n}^{(n-1)/2}=C_{n}^{(n+1)/2}\)
若\(k\leq\dfrac{n-1}{2}\), \(n-k+1\geq n-\dfrac{n-1}{2}+1>\dfrac{n+1}{2}\geq k\), 这就得到\(C_{n}^{k}>C_{n}^{k-1}\)
若\(k > \dfrac{n+1}{2}\) \(n-k+1 < n-\dfrac{n+1}{2}+1=\dfrac{n+1}{2} < k\) 这就得到\(C_{n}^{k} < C_{n}^{k-1}\)