问题1 - 斜面斜抛

一小球以恒定初速度\(v_0\)从倾斜角为\(\theta\)的斜面顶端抛出，斜面足够长，求当初速度与水平面夹角为\(\alpha\)时，小球落地点距离抛出点的水平位移\(x\)关于\(\alpha\)的表达式（\(\theta\)为参数），并求当\(\alpha\)满足什么条件时，\(x\)最大。

解析

设落地时间为\(t\)，竖直位移为\(y\)，有

\(\left\{\begin{array}{l}x=v_{0} \cdot \cos \alpha \cdot t \\ y=-v_{0} \cdot \sin \alpha \cdot t+\dfrac{1}{2} g t^{2} \theta \\ \dfrac{y}{x}=\tan \theta \end{array}\right.\)

将①③带入②化简得：

\(\begin{aligned} x &=\frac{1}{5}(\tan \alpha+\tan \theta) v_{0}^{2} \cos ^{2} \alpha \\ &=\frac{1}{5} v_{0}^{2}\left(\sin \alpha \cos \alpha+\tan \theta \cdot \frac{\cos 2 \alpha+1}{2}\right) \\ &=\frac{1}{5} v_{0}^{2}\left[\frac{1}{2} \cdot(\sin 2 \alpha+\tan \theta \cdot \cos 2 \alpha)+\tan \theta\right] \end{aligned}\)
令\(\cos \beta=\dfrac{1}{\sqrt{1+\tan ^{2} \theta}}\)，则\(\sin 2 \alpha+\tan \theta \cdot \cos 2 \alpha=\sin (2 \alpha+\beta)\) 要使\(x\)最大，则\(2 \alpha+\beta=90^{\circ}\) \(\beta=90^{\circ}-2 \alpha\)

\(\cos \beta=\sin 2 \alpha=\dfrac{1}{\sqrt{1+\tan ^{2} \theta}}\)

\(\therefore \alpha=\dfrac{1}{2}\cdot\arcsin \sqrt{\dfrac{1}{1+\tan ^{2} \theta}}\)时，\(x\)最大.