Intro

圆锥曲线的光学性质

从椭圆的一个焦点发出的光线或声波，经过椭圆反射后都集中到椭圆的另一焦点上.
从双曲线的一个焦点射出光线，光线碰到双曲线边界反射后的路径的反向延长线经过另一个焦点.
从抛物线的焦点射出光线，光线碰到抛物线边界反射后的路径平行于抛物线的对称轴.

简易证明：以椭圆为例。（希尔伯特同一法）
首先作出过$P$的切线$l$, 然后作$F _1$关于$l$的对称点$F'$, 连接$F'F _2$交$l$于$P'$, 如图所示.
接下来就是要说明$P$和$P’$为同一点 . 首先由作图过程可知, $P'$为$l$上使得 $P'F _1+ P ^′ F _2$最小的点 . 然后又因为$l$为过$P$的切线 , 所以有$P ^′ F _1+ P ^′ F _2 \geqslant PF _1+ PF _2$ 综上所述 , 即有$P'F _1 ＋ P ^′ F _2 = PF _1+ PF _2$﹐即 $P$与$P'$重合 . 因此 , $PF _2$就是光线反射后的路径 .

详细证明：以椭圆为例。
如本文第一张图，则过$P$点的切线$l : \dfrac{x_{0}x}{a^{2}}+ \dfrac{y_{0}y}{b^{2}}=1$, 直线$l$的法线交$x$轴于$Q$ , 直线$l$的法向量为$\overrightarrow{n}=( \dfrac{x_{0}}{a^{2}}, \dfrac{y_{0}}{b^{2}})$
因$\overrightarrow{PF_{1}}=(-c-x_{0},-y_{0})$, $\overrightarrow{PF_{2}}=(c-x_{0},-y_{0})$,
所以$PF_2 =$$c ^2+ x _0 ^{2}+y_{0}^{2}-2cx_{0}$$=c^{2}+x_{0}^{2}-2cx_{0}+b^{2}+ \dfrac{b^{2}x_{0}^{2}}{a^{2}}$=$
同理$|PF_{1}|^{2}= \dfrac{(a^{2}+cx_{0})^{2}}{a^{2}}$ . 因为$\overrightarrow n\cdot\overrightarrow{PF_{1}}$= - $= \dfrac{-cx_{0}-x_{0}^{2}}{a^{2}}-b^{2}+ \dfrac{b^{2}x_{0}^{2}}{a^{2}}=$ $\dfrac{-a^{2}-cx_{0}}{a^{2}}$,
所以$\cos \angle F_{1}PQ=\left| \dfrac{\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{PF_{1}}}{| \overrightarrow{PF_{1}}| \cdot |\overrightarrow{n}|}\right|=$ $\left| \dfrac{a^{2}-cx_{0}}{a^{2}}\right|= \dfrac{1}{|\overrightarrow n|}.$
同理$\cos \angle F_{2}PQ=\left| \dfrac{\overrightarrow n \cdot \overrightarrow{PF_{2}}}{|\overrightarrow {PF_{2}}| \cdot |\overrightarrow n|}\right|=\left| \dfrac{a^{2}-cx_{0}}{a^{2}}\right|= \dfrac{1}{|\overrightarrow n|}$
所以$∠ F _1PQ = ∠ F _2 PQ$, 即过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点.

小试牛刀

（2021-2022学年广东省佛山市高二上期末数学试卷）直线$x + 2 y - 8 = 0$与椭圆C:$\dfrac { x ^ { 2 } } { 1 6 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 1 2 } = 1$相切于点P，椭圆C的焦点为$F _ { 1 }$，$F _ { 2 }$，由光学性质知直线$PF _ {1}$，$PF_{ 2}$与$l$的夹角相等，则$∠F _ { 1 } P F _ { 2 }$的角平分线所在的直线的方程为($\quad$).
$\text{A. }2 x - y - 1 = 0\quad$ $\text{B. }x - y + 1 = 0\quad$ $\text{C. }2 x - y + 1 = 0\quad$ $\text{D. }x - y - 1 = 0$
解析
由$\left\{\begin{matrix} x + 2 y - 8 = 0 , \\ 3 x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } = 4 8 , \end{matrix} \right.$解得$y = 3 , x = 2$，即$P(2,3)$.
由光学性质知直线$P F _ { 1 }$，$P F _ { 2 }$与$l$的夹角相等，则$∠F _ { 1 } P F _ { 2 }$的角平分线所在的直线为法线，即与直线$l$垂直.
又直线$l:x + 2 y - 8 = 0$，所以设所求的直线方程为$2 x - y + m = 0$.
将$P(2，3)$代入直线方程$2 x - y + m = 0$中，可得$m = - 1$.
所以$\angle F _ { 1 } P F _ { 2 }$的角平分线所在的直线的方程为$2 x - y - 1 = 0$.
故选择答案:A.
（2011年高考全国卷II理科第15题）已知$F_{1}$、$F_{2}$分别为双曲线$C:\dfrac{x^{2}}{9}-\dfrac{y^{2}}{27}=1$的左、右焦点，点$A\in C$，点M的坐标为$(2,0)$, $AM$为$\angle F_{1}AF_{2}$的平分线，则$\left| AF_{2} \right|=\underline{\quad}.$
解析
设A($x_{0}$，$y_{0}$),则双曲线$C$在点$A$处的切线也即直线$AM$的方程为$\dfrac{x_{0}x}{9}-\dfrac{y_{0}y}{27}=1$.
因为它过点$M(2，0)$, 所以$x_{0}=\dfrac{9}{2}$,
得$\left| AF_{2} \right|=$$\left| a-ex_{0} \right|=\left| 3-2\cdot\dfrac{9}{2} \right|=6$

大显身手

（2013年山东高考理22(2)）椭圆$C: \dfrac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$，$P$是椭圆$C$上除长轴端点外的任一点 , 连接$PF _1$与$PF _2$, 设$∠ F _1PF _2$的角平分线$PM$交$C$的长轴于点$M ( m , 0 )$, 求$m$的取值范围.
解析
方程$\dfrac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$两边关于$x$求导得$\dfrac{2x}{4}+2y \cdot y^{ \prime }=0$, 并设$P ( x_0 , y _0 )$, 所以切线斜率$k=- \dfrac{x_{0}}{4y_{0}}$,
则$P ( x _0 , y _0 )$处的法线方程$y-y_{0}= \dfrac{4y_{0}}{x_{0}}(x-x_{0})$, 令$y = 0$, 则$m= \dfrac{3}{4}x_{0}$, $x _0 \in( -2 , 2 )$, 所以$m \in \left(- \dfrac{3}{2}, \dfrac{3}{2}\right)$.
(2010安徽) 已知$F _1$, $F _2$为椭圆$\dfrac{x^{2}}{16}+ \dfrac{y^{2}}{12}=1$的左右焦点 ,点$A ( 2 , 3 )$在椭圆上 , 求$∠ F _1AF _2$的角平分线所在的直线方程.
解析
切线方程$\dfrac{x_{1} x}{16}+\dfrac{y_{1} y}{12}=1$
$\dfrac{2x}{16}+\dfrac{3 y}{12}=1$, 即$\dfrac{x}{8}+\dfrac{y}{4}=1$
$k=-\dfrac{1}{2}$
$\therefore y-3=2(x-2)$
$2x-y-1=0$
(2011年北京大学保送生考题)求证：过双曲线上一点P的切线平分$\angle F _ { 1 } P F _ { 2 }$，其中$F _ { 1 }$、 $F _ { 2 }$为焦点.
解析
如图所示，设点P为双曲线$\Gamma$ (其左、右焦点分别是$F _ { 1 }$、 $F _ { 2 }$)右支上任意给定的点，
过点P作$\angle F _ { 1 } P F _ { 2 }$的平分线$l ( \angle 3 = \angle 4 )$.先证明$l$和$\Gamma$相切于点P，
只要证明$l$上异于点$P$的点$P ^ { \prime }$都在双曲线F的外部(把含双曲线焦点的区域称为该双曲线的内部)，
即证$\left| P ^ { \prime } F _ { 1 } \right| -\left| P ^ { \prime } F _ { 2 } \right| <\left| P F _ { 1 } \right| -\left| P F _ { 2 } \right|$.
由$\left| P F _ { 1 } \right| > \left| p F _ { 2 } \right|$知，可在直线$P F _ { 1 }$上选取点$F ^ { \prime }$，使$\left| PF ^ { \prime } \right|$$=\left| P F _ { 2 } \right|$，
得$\triangle P ^ { \prime } P F ^ { \prime } \cong \triangle P ^ { \prime } P F _ { 2 }$，
所以|$P^{\prime}F^{\prime}|$ $=|P^{\prime}F_{2}|$，且$\left|P^{\prime}F_{1}\right|-\left|P^{\prime}F_{2}\right|=\left|P^{\prime}F_{1}\right|-\left|P^{\prime}F^{\prime}\right|<$ $|F_{1}F^{\prime}|=|PF_{1}|-|PF^{\prime}|=|PF_{1}|-|PF_{2}|$.