阿波罗尼斯圆及其应用

定义

设\(A\), \(B\)是平面内的两个定点, 平面内的动点\(P\)到点\(A\)的距离与到点\(B\)的距离的比值为\(λ\)(\(λ>0\)且\(λ≠1\)), 则点\(P\)的轨迹为圆, 此圆即为阿波罗尼斯圆, 简称阿氏圆。

如图1, 以\(AB\)所在直线为\(x\)轴, \(AB\)的垂直平分线为\(y\)轴建立平面直角坐标系, 不妨设\(A\left(-a,0\right)\), \(B\left(a,0\right)\), \(P\left(x,y\right)\), 则由\(\dfrac{PA}{PB} = \lambda\), 得

\[\dfrac{\sqrt{\left(x + a\right) {}^2 + y{}^2}}{\sqrt{\left(x - a\right) {}^2 +y {}^2}} = \lambda\]

化简得 $( λ ^2-1 ) ( x ^2+ y ^2 ) -2 a ( λ ^2+1 ) x + ( λ ^2-1 ) a ^2 = 0 $

又\(λ > 0\)且\(λ≠ 1\) , 所以\(\left(x - \dfrac{\lambda^2 + 1}{\lambda^2 - 1}a\right)^2 + y^2 = \left(\dfrac{2\lambda}{\lambda^2 - 1}a\right)^2\)

所以当\(λ > 0\) 且\(λ≠ 1\)时 , 点\(P\)的轨迹是以\(C\left(\dfrac{\lambda {}^2 + 1}{\lambda {}^2 - 1}a, 0\right)\)为圆心, \(\left|\dfrac{2\lambda a}{\lambda {}^2 - 1}\right|\)为半径的圆。

一道高考题

在平面四边形ABCD中, \(∠BAD=90°\), \(AB=2\), \(AD=1\).若\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}+ \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}\)\(= \dfrac{4}{3}\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}\), 则\(\overrightarrow{CB}+ \dfrac{1}{2}\overrightarrow{CD}\)最小值为________ .

拓展

提炼一下条件和结论: ①平面上的定点\(B(2,0)\); ②平面上的定点\(M(5,0)\); ③定比\(\dfrac{CB}{CM}=\dfrac{1}{2}\) ④点C的轨迹方程\((x-1)^2+y\)

拓展1 (探求定比①②④⇒③)已知点\(B(2,0),M(5,0)\),点C是圆\((x-1)^2+y^2=4\)上任一点.问:是否存在这样的常数A,使得\(\frac{CB}{CM}=\lambda\)？若存在,求出常数λ;若不存在,请说明理由.

拓展2 (探求一个定点①③④⇒②)已知点\(B(2,0)\),点C是圆\((x-1)^2+y^2=4\)上任一点.问:是否存在点M,使得\(\dfrac{CB}{CM}=\dfrac{1}{2}\)？若存在,求出点M坐标;若不存在,请说明理由.

拓展3 (探求两个定点③④⇒①②)已知点C是圆\((x-1)^2+y^2=4\)上任一点.问x轴上是否存在2个定点B、M,使得\(\dfrac{CB}{CM}=\dfrac{1}{2}\)？若存在,求出点B,M坐标;若不存在,请说明理由.

拓展4 (探求定比和一个定点①③⇒②④)已知点\(B(2,0)\),点C是圆\((x-1)^2+y^2=4\)上任一点.问:是否存在异于点B的点M, \(\frac{CB}{CM}=\lambda\)为一个常数?若存在,求出点\(M\)坐标及常数\(λ\);若不存在,请说明理由.

解析

解如图3,以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),D(0,1)

\[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=\dfrac{4}{3}\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}\]

得\(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=3\)

设C(x,y),则\((x,y)·(x-2,y)=3\),

由拓展 4 , 存在$ M ( 5 , 0 )$ , 使得\(\dfrac{CB}{CM}= \dfrac{1}{2}\)，即\(CB= \dfrac{1}{2}CM\)，所以\(CB+ \dfrac{1}{2}CD\)\(= \dfrac{1}{2}(CM+CD)\).

因为点 D 在圆内 , 点 M 在圆外 , 要在圆上找一点 C 使得 CM + CD 最小 , 由两点之间线段最短知 , 连结 DM 与圆相交 , 交点 C

所以 \(( CB+ \dfrac{1}{2}CD)_{ \min }= \dfrac{1}{2}(CM+CD)_{ \min }\) \(= \dfrac{1}{2}DM= \dfrac{ \sqrt{26}}{2}\)为所求.

参考资料

• 翟丽. 阿波罗尼斯圆的拓展及其教学价值[J]. 高中数学教与学. 2019 (22);