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1.质点运动学和牛顿运动定律
1.1 速度
(1)平均速度: \(\bar{v}=\frac{\Delta \mathrm{r}}{\Delta t}\)
(2)瞬时速度: \(\vec{v}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}=\frac{d \vec{r}}{d t}\)
(3)角速度: \(\omega=\frac{v}{r}, \omega=\frac{d \theta}{d t}\)
1.2 加速度
(1)平均加速度: \(\bar{a}=\frac{\Delta v}{\Delta t}\)
(2)瞬时加速度: \(a=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{d v}{d t}=\frac{d^{2} r}{d t^{2}}\)
(3)变速率圆周运动任意点的加速度:
\(\vec{a}=\vec{a}_{t}+\vec{a}_{n}=\frac{d \vec{v}}{d t}=\frac{d v}{d t} \vec{e}_{t}+v \frac{d \vec{e}_{t}}{d t}=r \alpha \vec{e}_{t}+r \omega^{2} \vec{e}_{n}\)
(4)切向加速度: \(\vec{a}_{t}=\frac{d v}{d t} \vec{e}_{t}=r \alpha \vec{e}_{t}\left(\left|\vec{a}_{t}\right|=\frac{d v}{d t}=r \frac{d \omega}{d t}=r \alpha\right)\)
(5)法向加速度: \(\quad \vec{a}_{n}=\frac{v^{2}}{r} \vec{e}_{n}=r \omega^{2} \vec{e}_{n}\left(\left|\vec{a}_{n}\right|=\frac{v^{2}}{r}=r \omega^{2}\right)\)
(6)变速率圆周运动加速度数值: \(|\vec{a}|=\sqrt{a_{t}^{2}+a_{n}^{2}}\)
(7)角加速度: \(\quad \alpha=\frac{d \omega}{d t}=\frac{d^{2} \theta}{d t^{2}}\)
1.3 位移、速度、加速度之间的关系
(1)匀速直线运动位移坐标: \(x=x_{0}+v t\)
- 匀变速直线运动位移坐标: \(x=x_{0}+v_{0} t+\frac{1}{2} a t^{2}\)
(3)自由落体运动: (4)坚直上抛运动: \(\left\{\begin{array}{l}v=g t \\ y=\frac{1}{2} a t^{2} \\ v^{2}=2 g y\end{array} \quad\left\{\begin{array}{c}v=v_{0}-g t \\ y=v_{0} t-\frac{1}{2} g t^{2} \\ v^{2}=v_{0}^{2}-2 g y\end{array}\right.\right.\)
(5)速度随位移变化公式: \(v^{2}-v_{0}{ }^{2}=2 a\left(x-x_{0}\right)\)
(6)速度与位移、角度、角速度之间的关系: \(v=\frac{d r}{d t}=r \frac{d \theta}{d t}=r \omega\)
(7)角速度与角度、角速度之间的关系: \(\omega=\frac{d \theta}{d t}=\omega_{0}+\alpha t\)
(8)角加速度与角速度、角度之间的关系: \(\alpha=\dfrac{d \omega}{d t}=\dfrac{d^{2} \theta}{d t^{2}}\)
1.4 斜抛抛体运动
(1)轨迹方程: \(y=x \tan \alpha-\dfrac{g}{2 v_{0}^{2} \cos ^{2} a} x^{2}\)
(2)速度分量: \(\left\{\begin{array}{c}v_{x}=v_{0} \cos a \\ v_{y}=v_{0} \sin a-g t\end{array}\right.\)
(3)距离分量: \(\left\{\begin{array}{c}x=v_{0} \cos a \cdot t \\ y=v_{0} \sin a \cdot t-\frac{1}{2} g t^{2}\end{array}\right.\)
(4)射程: \(x=\dfrac{v_{0}^{2} \sin 2 a}{g}\) (特别地, 当 \(\alpha=\frac{\pi}{4}\) 时, 射程最大, 此时 \(d_{0 m}=\frac{v_{0}^{2}}{g}\) );
(5)射高: \(y=\dfrac{v_{0}^{2} \sin ^{2} a}{2 g}\)
(6)飞行时间: \(t=\dfrac{2 v_{0} \sin \alpha}{g}\)
1.5 牛顿三大定律的定义
牛顿第一定律：任何物体都保持静止或匀速直线运动状态, 除非它受到作用力而被迫改变这种状态。
牛顿第二定律: 物体受到外力作用时, 所获得的加速度 a 的 大小与外力 \(\mathrm{F}\) 的大小成正比, 与物体的质量 \(m\)成反比; 加速度的方向与外力的方向相同。 \(F=ma\)
牛顿第三定律: 若物体 \(A\) 以力 \(F_{1}\) 作用与物体 \(B\), 则同时物体 \(B\) 必以力 \(F_{2}\) 作用与物体 \(A\); 这两个力的大小相等、方向相反, 而且沿同一直线。
1.6 万有引力定律的定义及公式
定义: 自然界任何两质点间存在着相互吸引力, 其大小与 两质点质量的乘积成正比, 与两质点间的距离的二次方成反比; 引力的方向沿两质点的连线
公式: \(F=G \dfrac{m_{1} m_{2}}{r^{2}}, G\) 为万有引力称量 \(=6.67 \times\) \(10^{-11} \mathrm{~N} \cdot \mathrm{m}^{2} / \mathrm{kg}^{2}\)
1.7 重力
- \(P=m g\), 其中 \(g\) 重力加速度
(2)物体与地球中心的万有引力: \(P=G \dfrac{M m}{r^{2}}\)
(3)重力加速度: \(g=G \frac{M}{r^{2}}\) (物体的重力加速度与物体本身的质量无关, 而紧随它到地心的距离而变)
1.8 胡克定律
\(F=-k x\) ( \(\mathrm{k}\) 是比例常数, 称为弹簧的劲度系数)
1.9 摩擦力
(1)最大静摩擦力: \(f_{\max }=\mu_{0} N\left(\mu_{0}\right.\) 静摩擦系数)
(2)滑动摩擦系数: \(f=\mu N \quad\left(\mu\right.\) 滑动摩擦系数略小于 \(\left.\mu_{0}\right)\)
2.守恒定律
2.1 动量\(\vec{p}=m \vec{v}\)
2.12 质点系的动量定理 \(\left(\mathrm{F}_{1}+\mathrm{F}_{2}\right) \triangle \mathrm{t}=\left(\mathrm{m}_{1} \mathrm{v}_{1}+\mathrm{m}_{2} \mathrm{v}_{2}\right)-\) \(\left(\mathrm{m}_{1} \mathrm{v}_{10}+\mathrm{m}_{2} \mathrm{v}_{20}\right)\) 左面为系统所受的外力的总动量, 第一项为系统的末动量 二为初动量
2.13 质点系的动量定理: \(\sum_{i=1}^{n} F_{i} \triangle t=\sum_{i=1}^{n} m_{i} v_{i}-\sum_{i=1}^{n} m_{i} v_{i 0}\) 作用在系统上的外力的总冲量等于系统总动量的增量
2.14 质点系的动量守恒定律 (系统不受外力或外力矢量和为零) \(\sum_{i=1}^{n} m_{i} v_{i}=\sum_{i=1}^{n} m_{i} v_{i 0}=\) 常矢量
2.16\(\vec{L}=\vec{r} \times \vec{p}=\vec{r} \times m \vec{v}\) 圆周运动角动量 \(\mathrm{R}\) 为半径
2.17\(\vec{L}=\vec{d} \times \vec{p}=\vec{d} \times m \vec{v}\) 非圆周运动, \(\mathrm{d}\) 为参考点 o 到 \(\mathrm{p}\) 点的垂直距离
2.18\(L=m v r \sin \phi\) 同上
2.2 牛顿第二定律 \(F=\dfrac{d(m v)}{d t}=\dfrac{d P}{d t}\)
2.21\(M=F d=F r \sin \phi \quad \mathrm{F}\) 对参考点的力矩
2.22\(\vec{M}=\vec{r} \times \vec{F} \quad\) 力矩
2.24\(M=\frac{d L}{d t}\) 作用在质点上的合外力矩等于质点角动量的时间变化率
2.26 \(\left.\begin{array}{c} \frac{d L}{d t}=0 \\ L=常矢量 \end{array}\right\}\) 如果对于某一固定参考点, 质点（系）所受的外力矩的矢量和为零, 则此质点对于该参考点的角动量保持不变。
2.27 质点系的角动量守恒定律
2.28 \(J=\sum_{i} \Delta m_{i} r_{i}^{2}\) 刚体对给定转轴的转动惯量
2.29 \(M=J \alpha\) (刚体的合外力矩)刚体在外力矩 \(M\) 的作用下所获得的角加速度 \(\alpha\) 与外合力矩的大小成正比, 并于转动惯量 \(J\) 成反比; 这就是刚体的定轴转动定律。
2.3 动量定理的微分形式
\(F\mathrm{d}t=m\mathrm{d}v=\mathrm{d}(mv)\) \(F=ma=m\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\)
2.4 \(\int_{t_{1}}^{t_{1}} F d t=\int_{v_{1}}^{v_{2}} d(m v)=\mathrm{mv}_{2}-\mathrm{mv}_{1}\)
2.5 冲量 \(\mathrm{I}=\int_{t_{1}}^{t_{1}} F d t\)
2.6 动量定理 \(\mathrm{I}=\mathrm{P}_{2}-\mathrm{P}_{1}\)
2.7 平均冲力 \(\bar{F}\) 与冲量 \(\mathrm{I}=\int_{t_{1}}^{t_{1}^{2}} F d t=\bar{F}\left(\mathrm{t}_{2}-\mathrm{t}_{1}\right)\)
2.9 平均冲力 \(\bar{F}=\dfrac{I}{t_{2}-t_{1}}=\dfrac{\int_{t_{1}}^{t_{2}} F d t}{t_{2}-t_{1}}=\dfrac{m v_{2}-m v_{1}}{t_{2}-t_{1}}\)
2.30 \(J=\int_{m} r^{2} d m=\int_{v} r^{2} \rho d v\) 转动惯量(\(\mathrm{d}v\) 为相应质元, \(\mathrm{d}m\) 的体积元, \(\rho\) 为体积 \(\mathrm{d}v\) 处的密度)
2.31 \(L=J \omega\) 角动量
2.32 \(M=J a=\frac{d L}{d t}\) 物体所受对某给定轴的合外力矩等于物体对该轴的角动量的变化量
2.33 \(M d t=d L\) 冲量距
2.34 \(\int_{t_{0}}^{t} M d t=\int_{L 0}^{L} d L=L-L_{0}=I \omega-I \omega_{0}\)
2.35 \(L=J \omega=\) 常量
2.36 \(\mathrm{~W}=F r \cos \theta\)
2.37 \(W=F \cdot r\) 力的功等于力沿质点位移方向的分量与质 点位移大小的乘积
2.38 \(W_{a b}=\int_{a}^{b} d W=\int_{a}^{b} F \cdot d r=\int_{a}^{b} F \cos \theta d s\)
2.39 \(W=\int_{a}^{b}\) \((L)\)合力的功等于各分力功的代数和
2.40 \(\bar{N}=\frac{\Delta W}{\Delta t}\) 功率等于功比上时间
2.41 \(N=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta W}{\Delta t}=\frac{d W}{d t}\)
2.42 \(N=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} F \cos \theta \frac{\Delta s}{\Delta t}=F \cos \theta v=F \times v\) 瞬时功率等于力 \(\mathrm{F}\) 与质点瞬时速度 \(v\) 的标乘积
2.43 \(W=\int_{v_{0}}^{v} m v d v=\frac{1}{2} m v^{2}-\frac{1}{2} m v_{0}{ }^{2}\) 功等于动能的增量
2.44 \(E_{k}=\frac{1}{2} m v^{2}\) 物体的动能
2.45 \(W=E_{k}-E_{k_{0}}\) 合力对物体所作的功等于物体动能的增量 (动能定理)
2.46 \(W_{a b}=m g\left(h_{a}-h_{b}\right)\) 重力做的功
2.47 \(W_{a b}=\int_{a}^{b} F \cdot d r=\left(-\dfrac{G M m}{r_{a}}\right)-\left(-\dfrac{G M m}{r_{b}}\right)\) 万有引力做的功
2.48 \(W_{a b}=\int_{a}^{b} F \cdot d r=\frac{1}{2} k x_{a}^{2}-\frac{1}{2} k x_{b}^{2}\) 弹性力做的功
2.49 \(W_{\text {保 } a b}=E_{p_{a}}-E_{p_{b}}=-\Delta E_{p}\) 势能定义
2.50 \(E_{p}=m g h\) 重力的势能表达式
2.51 \(E_{p}=-\frac{G M m}{r}\) 万有引力势能
2.52 \(E_{p}=\frac{1}{2} k x^{2}\) 弹性势能表达式
2.53 \(W_{\text {外 }}+W_{\text {内 }}=E_{k}-E_{k_{0}}\) 质点系动能的增量等于所有外力的功和内力的功的代数和 (质点系的动能定理)
2.54 \(W_{\text {外 }}+W_{\text {保内 }}+W_{\text {非内 }}=E_{k}-E_{k_{0}}\) 保守内力和不保守内力
2.55 \(W_{\text {保内 }}=E_{p_{0}}-E_{p}=-\Delta E_{p}\) 系统中的保守内力的功等于系统势能的减少量
2.56 \(W_{\text {外 }}+W_{\text {非内 }}=\left(E_{k}+E_{p}\right)-\left(E_{k_{0}}+E_{p_{0}}\right)\)
2.57 \(E=E_{k}+E_{p}\) 系统的动能 \(\mathrm{k}\) 和势能 \(\mathrm{p}\) 之和称为系统的机械能
2.58 \(W_{\text {外 }}+W_{\text {非内 }}=E-E_{0}\) 质点系在运动过程中, 他的机械能增量等于外力的功和非保守内力的功的总和 (功能原理)
2.59 当 \(W_{\text {外 }}=0 、 W_{\text {非内 }}=0\) 时, 有 \(E=E_{k}+E_{p}=\) 常量 如果在一个系统的运动过程中的任意一小段时间内, 外力对 系统所作总功都为零, 系统内部又没有非保守内力做功, 则 在运动过程中系统的动能与势能之和保持不变, 即系统的机 械能不随时间改变, 这就是机械能守恒定律。
2.60 \(\frac{1}{2} m v^{2}+m g h=\frac{1}{2} m v_{0}^{2}+m g h_{0}\) 重力作用下机械能守恒的一个特例
2.61 \(\frac{1}{2} m v^{2}+\frac{1}{2} k x^{2}=\frac{1}{2} m v_{0}{ }^{2}+\frac{1}{2} k x_{0}^{2}\) 弹性力作用下的机械能守恒
3.气体动理论
3.1 1 毫米汞柱等于 133. 3Pa \(1 \mathrm{mmHg}=133.3 \mathrm{~Pa}\)
1 标准大气压等于760毫米汞柱 \(1 \mathrm{~atm}=760 \mathrm{mmHg}=1.013 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}\)
热力学温度 \(\mathrm{T}=273.15+\mathrm{t}\)
3.2 气体定律 \(\dfrac{P_{1} V_{1}}{T_{1}}=\dfrac{P_{2} V_{2}}{T_{2}}=\) 常量 即 \(\dfrac{P V}{T}=\) 常量
阿伏伽德罗定律: 在相同的温度和压强下, 1 摩尔的任何气体所占据的体积都相同。在标准状态下, 即压强 \(\mathrm{P}_{0}=1 \mathrm{~atm}\) 、温度 \(\mathrm{T}_{0}=273.15 \mathrm{~K}\) 时, 1 摩尔的任何气体体积均为 \(\mathrm{v}_{0}=22.41\)\(\mathrm{L} / \mathrm{mol}\)
3.3 多常量 \(\mathrm{N}_{\mathrm{a}}=6.022 \times 10^{2^{3}} \mathrm{~mol}^{-1}\)
3.5 普适气体常量 \(R \equiv \dfrac{P_{0} v_{0}}{T_{0}}\) 国际单位制为: \(8.314\)\(\mathrm{J} /(mol\cdot K)\)
压强用大气压, 体积用升 \(8.206 \times 10^{-2} \mathrm{~atm} . \mathrm{L} /(\mathrm{mol} . \mathrm{K})\)
3.7 理想气体的状态方程: \(\mathrm{PV}=\frac{M}{M_{m o l}} R T \quad \mathrm{v}=\frac{M}{M_{m o l}}\) (质量为 \(M\), 摩尔质量为 \(M_{\text {mol }}\) 的气体中包含的摩尔数) ( \(R\) 为与气体无关的普适常量, 称为普适气体常量)
3.8 理想气体压强公式 \(\mathrm{P}=\frac{1}{3} m n \overline{v^{2}}\left(\mathrm{n}=\frac{N}{V}\right.\) 为单位体积中的平均分字数, 称为分子数密度; \(\mathrm{m}\) 为每个分子的质量, \(\mathrm{v}\) 为分
3.9 \(\mathrm{P}=\frac{M R T}{M_{m o l} V}=\frac{N m R T}{N_{A} m V}=\frac{N}{V} \frac{R}{N_{A}} T=n k T\left(n=\frac{N}{V}\right.\) 为气体分子密度, \(R\) 和 \(N\), 都是普适常量, 二者之比称为波尔兹常量 \(\mathrm{k}=\frac{R}{N_{A}}=1.38 \times 10^{-23} \mathrm{~J} / \mathrm{K}\)
3.12 气体动理论温度公式: 平均动能 \(\overline{\varepsilon_{t}}=\frac{3}{2} k T\) (平均动能 只与温度有关) 完全确定一个物体在一个空间的位置所需的独立坐标数目,称为这个物体运动的自由度。双原子分子共有五个自由度,其中三个是平动自由度, 两个适转动自由度, 三原子或多原子分子, 共有六个自由度)
分子自由度数越大, 其热运动平均动能越大。每个具有相同的品均动能 \(\frac{1}{2} k T\)
3.13 \(\overline{\varepsilon_{t}}=\frac{i}{2} k T \quad \mathrm{i}\) 为自由度数, 上面 \(3 / 2\) 为一个原子分 子自由度
3.14 1 摩尔理想气体的内能为 \(\mathrm{E}_{0}=N_{A} \bar{\varepsilon}=\frac{1}{2} N_{A} k T=\frac{i}{2} R T\)
3.15 质量为 \(M\), 摩尔质量为 \(\mathrm{M}_{\mathrm{m} 1}\) 的理想气体能能为 \(\mathrm{E}=v E_{0}=\frac{M}{M_{\text {mol }}} E_{0}=\frac{M}{M_{\text {mol }}} \frac{i}{2} R T\)
气体分子热运动速率的三种统计平均值
3.20 最概然速率 (就是与速率分布曲线的极大值所对应哦速率, 物理意义: 速率在 \(v_{p}\) 附近的单位速率间隔内的分子数百分比最大) \(v_{p}=\sqrt{\frac{2 k T}{m}} \approx 1.41 \sqrt{\frac{k T}{m}}\) (温度越高, \(v_{p}\) 越大,分子质量 \(\mathrm{m}\) 越大 \(v_{p}\) )
3.21 因为 \(\mathrm{k}=\frac{R}{N_{A}}\) \(v_{p}=\sqrt{\frac{2 k T}{m}}=\sqrt{\frac{2 R T}{m N_{A}}}=\sqrt{\frac{2 R T}{M_{m o l}}} \approx 1.41 \sqrt{\frac{R T}{M_{m o l}}}\)
3.22 平均速率 \(\bar{v}=\sqrt{\frac{8 k T}{\pi m}=\sqrt{\frac{8 R T}{\pi M_{m o l}}} \approx 1.60 \sqrt{\frac{R T}{M_{m o l}}}}\)
3.23 方均根速率 \(\sqrt{\overline{v^{2}}}=\sqrt{\frac{3 R T}{M_{m o l}}} \approx 1.73 \sqrt{\frac{R T}{M_{\text {mol }}}}\)
三种速率, 方均根速率最大, 平均速率次之, 最概速率最小; 在讨论速率分布时用最概然速率, 计算分子运动 通过的平均距离时用平均速率, 计算分子的平均平动动 能时用分均根
4.热力学基础
热力学第一定律: 热力学系统从平衡状态 1 向状态 2 的变化中, 外界对系统所做的功 \(W^{\prime}\) 和外界传给系统的热量 \(Q\) 二者之和是恒定的, 等于系统内能的改变 \(\mathrm{E}_{2}-\mathrm{E}_{1}\)
4.1 \(W^{\prime}+Q=E_{2}-E_{1}\)
4.2 \(Q=E_{2}-E_{1}+W\) 注意这里为 \(W\) 同一过程中系统对外界所做 的功 \((Q>0\) 系统从外界吸收热量; Q<0 表示系统向外界放
4.3 \(\mathrm{dQ}=\mathrm{dE}+\mathrm{dW}\) (系统从外界吸收微小热量 \(\mathrm{dQ}\), 内能增加微小
两 \(\mathrm{dE}\), 对外界做微量功 \(\mathrm{dW}\)
4.4 平衡过程功的计算 \(d W=P S d l=P d V\)
4.5 \(\mathrm{W}=\int_{V_{1}}^{V_{2}} P d V\)
4.6 平衡过程中热量的计算 \(Q=\frac{M}{M_{m o l}} C\left(T_{2}-T_{1}\right)\) (C 为摩尔热容量, 1 摩尔物质温度改变 1 度所吸收或放出的热量)
4.7 等压过程: \(Q_{p}=\frac{M}{M_{\text {mol }}} C_{p}\left(T_{2}-T_{1}\right)\) 定压摩尔热容量
4.8 等容过程: \(Q_{v}=\frac{M}{M_{m o l}} C_{v}\left(T_{2}-T_{1}\right) \quad\) 定容摩尔热容量
4.9 内 能 增 量 \(\quad \mathrm{E}_{2}-\mathrm{E}_{1}=\frac{M}{M_{\text {mol }}} \frac{i}{2} R\left(T_{2}-T_{1}\right)\) \(d E=\frac{M}{M_{\text {mol }}} \frac{i}{2} R d T\)
4.11 等容过程 \(\frac{P}{T}=\frac{M}{M_{\text {mol }}} \frac{R}{V}=\) 常量 或 \(\frac{P_{1}}{T_{1}}=\frac{P_{2}}{T_{2}}\)
4.12 4.13 \(Q_{v}=\mathrm{E}_{2}-\mathrm{E}_{1}=\frac{M}{M_{m o l}} C_{v}\left(T_{2}-T_{1}\right)\) 等容过程系统不对外界做功; 等容过程内能变化
4.14 等压过程 \(\frac{V}{T}=\frac{M}{M_{\text {mol }}} \frac{R}{P}=\) 常量 或 \(\frac{V_{1}}{T_{1}}=\frac{V_{2}}{T_{2}}\)
4.15 \(W=\int_{V_{1}}^{V_{2}} P d V=P\left(V_{2}-V_{1}\right)=\frac{M}{M_{m o l}} R\left(T_{2}-T_{1}\right)\)
4.16 \(Q_{P}=E_{2}-E_{1}+W\) (等压膨胀过程中, 系统从外界吸 收的热量中只有一部分用于增加系统 的内能, 其余部分对于外部功)
4.17 \(C_{p}-C_{v}=R\) （1摩尔理想气体在等压过程温度升高 1 度时比在等容过程中要多吸收 8.31 焦耳的热量, 用来转化 为体积膨胀时对外所做的功, 由此可见, 普适气体常量 \(R\) 的 物玾意义, 1 塺尔理相气体在等压过程中升泹 1 度对外界所 物理意 \(X:\) 做的功。)
4.18 泊松比 \(\gamma=\frac{C_{p}}{C_{v}}\)
4.19 4.20 \(\quad C_{v}=\frac{i}{2} R \quad C_{p}=\frac{i+2}{2} R\)
4.21 \(\gamma=\frac{C_{p}}{C_{v}}=\frac{i+2}{i}\)
4.22 等温变化 \(P V=\frac{M}{M_{\text {mol }}} R T=\) 常量 或 \(P_{1} V_{1}=P_{2} V_{2}\)
4.23 4.24 \(W=P_{1} V_{1} \ln \frac{V_{2}}{V_{1}}\) 或 \(W=\frac{M}{M_{m o l}} R T \ln \frac{V_{2}}{V_{1}}\)
4.25 等温过程热容量计算: \(Q_{T}=W=\frac{M}{M_{\text {mol }}} R T \ln \frac{V_{2}}{V_{1}}\) (全部转化为功)
4.26 绝 热 过 程 三 个参 数 都 变 化 \(P V^{\gamma}=\) 常量 或 \(P_{1} V_{1}^{\gamma}=P_{2} V_{2}^{\gamma}\) 绝热过程的能量转换关系
4.27 \(W=\frac{P_{1} V_{1}}{\gamma-1}\left[1-\left(\frac{V_{1}}{V_{2}}\right)^{r-1}\right]\)
4.28 \(W=-\frac{M}{M_{\text {mol }}} C_{v}\left(T_{2}-T_{1}\right)\) 根据已知量求绝热过程的
4.29 \(\mathrm{~W}_{\text {苚備 }}=Q_{1}-\left|Q_{2}\right| \quad Q 2\) 为热机循环中放给外界的热量
4.30 热机循环效率 \(\eta=\frac{W_{\text {腼㑔 }}}{Q_{1}} \quad\left(Q_{1}\right.\) 一个循环从高温热库吸收的热量有多少转化为有用的功）
4.31 \(\eta=\frac{Q_{1}-\left|Q_{2}\right|}{Q_{1}}=1-\frac{\left|Q_{2}\right|}{Q_{1}}<1 \quad\) (不可能把所有的热量 都转化为功)
4.33 制冷系数 \(\omega=\frac{Q_{2}}{W_{\text {㣬 }}^{\prime}}=\frac{Q_{2}}{\left|Q_{1}\right|-Q_{2}} （ Q 2\) 为从低温热库中吸收的热量）
5.静电场
5.1 库仑定律: 真空中两个静止的点电荷之间相互作用的静 电力 \(\mathrm{F}\) 的大小与它们的带电量 \(q_{1} 、 q_{2}\) 的乘积成正比, 与它们之间的距离 \(\mathrm{r}\) 的二次方成反比, 作用力的方向沿着两个点电荷的连线。 \(F=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_{1} q_{2}}{r^{2}}\)
基元电荷: \(\mathrm{e}=1.602 \times 10^{-19} \mathrm{C} \quad ; \varepsilon_{0}\) 真空电容率 \(=8.85 \times 10^{-12}\);
\(\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}=8.99 \times 10^{9}\)
5.2 \(F=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_{1} q_{2}}{r^{2}} \hat{r}\) 库仑定律的适量形式
5.3 场强 \(E=\frac{F}{q_{0}}\)
5.4 \(E=\frac{F}{q_{0}}=\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{3}} r \quad \mathrm{r}\) 为位矢
5.5 电场强度叠加原理（矢量和）
5.6 电偶极子 (大小相等电荷相反) 场强 \(\mathrm{E}=-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{P}{r^{3}}\) 电 偶极距 \(P=q 1\)
5.7 电荷连续分布的任意带电体 \(E=\int d E=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int \frac{d q}{r^{2}} \hat{r}\)
均匀带点细直棒
5.8 \(d E_{x}=d E \cos \theta=\frac{\lambda d x}{4 \pi \varepsilon_{0} l^{2}} \cos \theta\)
5.9 \(d E_{y}=d E \sin \theta=\frac{\lambda d x}{4 \pi \varepsilon_{0} l^{2}} \sin \theta\)
- \(10 E=\frac{\lambda}{4 \pi \varepsilon_{0} r}[(\sin \beta-\sin a) i+(\cos a-\operatorname{sos} \beta) j]\)
5.11 无限长直棒 \(E=\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0} r} j\)
\(5.12 E=\frac{d \Phi_{E}}{d S}\) 在电场中任一点附近穿过场强方向的单
位面积的电场线数
- 13 电通量 \(d \Phi_{E}=E d S=E d S \cos \theta\)
\(d \Phi_{E}=E \bullet d S\)
\(15 \Phi_{E}=\int d \Phi_{E}=\int_{S} E \bullet d S\)
\(.16 \Phi_{E}=\oint_{S} E \bullet d S\) 封闭曲面
高斯定理：在真空中的静电场内, 通过任意封闭曲面的电通
量等于该封闭曲面所包围的电荷的电量的代数和的 \(1 / \varepsilon\)
- \(17 \oint_{S} E \cdot d S=\frac{1}{\varepsilon_{0}} \sum q \quad\) 若连续分布在带电体上
\(=\frac{1}{\varepsilon_{0}} \oint_{Q} d q\)
- \(\left.19 E=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q}{r^{2}} \hat{r}(r\rangle R\right)\) 均匀带点球就像电荷都集中
在球心
\(20 \mathrm{E}=0 \quad(r<\mathrm{R})\) 均匀带点球壳内部场强处处为零
- \(21 E=\frac{\sigma}{2 \varepsilon_{0}}\) 无限大均匀带点平面 (场强大小与到带点平
面的距离无关, 垂直向外 (正电荷))
- \(22 A_{a b}=\frac{Q q_{0}}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{1}{r_{a}}-\frac{1}{r_{b}}\right)\) 电场力所作的功
5.23 \(\oint_{L} E \bullet d l=0\) 静电场力沿闭合路径所做的功为零 (静
电场场强的环流恒等于零)
5.24 电势差 \(U_{a b}=U_{a}-U_{b}=\int_{a}^{b} E \bullet d l\)
5.25 电势 \(U_{a}=\int_{a}^{\text {无限远 }} E \bullet d l\) 注意电势零点
\(5.26 A_{a b}=q \cdot U_{a b}=q\left(U_{a}-U_{b}\right)\) 电场力所做的功
5.27 \(U=\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0} r} \hat{r}\) 带点量为 \(Q\) 的点电荷的电场中的电势
分布, 很多电荷时代数叠加, 注意为 \(r\)
\(5.28 U_{a}=\sum_{i=1}^{n} \frac{q_{i}}{4 \pi \varepsilon_{0} r_{i}}\) 电势的叠加原理
\(5.29 U_{a}=\int_{Q} \frac{d q}{4 \pi \varepsilon_{0} r}\) 电荷连续分布的带电体的电
势
\(30 U=\frac{P}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{3}} \hat{r}\) 电偶极子电势分布, \(r\) 为位矢, \(\mathrm{P}=\mathrm{ql}\)
\(31 U=\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0}\left(R^{2}+x^{2}\right)^{1 / 2}}\) 半径为 \(R\) 的均匀带电 \(Q\) 圆环轴
线上各点的电势分布
\(5.36 \mathrm{~W}=\mathrm{qU}\) 一个电荷静电势能, 电量与电势的乘积
5.37 \(E=\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}\) 或 \(\sigma=\varepsilon_{0} E\) 静电场中导体表面场强
5.38 \(C=\frac{q}{U}\) 孤立导体的电容
\(5.39 \mathrm{U}=\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0} R} \quad\) 孤立导体球
\(40 C=4 \pi \varepsilon_{0} R\) 孤立导体的电容
\(41 C=\frac{q}{U_{1}-U_{2}}\) 两个极板的电容器电容
\(42 C=\frac{q}{U_{1}-U_{2}}=\frac{\varepsilon_{0} S}{d}\) 平行板电容器电容
\(5.43 C=\frac{Q}{U}=\frac{2 \pi \varepsilon_{0} L}{\ln \left(R_{2} / R_{1}\right)}\) 圆柱形电容器电容 \(\mathrm{R} 2\) 是大的
\(5.44 U=\frac{U}{\varepsilon_{r}}\) 电介质对电场的影响
\(5.45 \varepsilon_{r}=\frac{C}{C_{0}}=\frac{U}{U_{0}}\) 相对电容率
\(5.46 C=\varepsilon_{r} C_{0}=\frac{\varepsilon_{r} \varepsilon_{0}}{d}=\frac{\varepsilon S}{d} \quad \varepsilon=\varepsilon_{r} \varepsilon_{0}\) 叫这种电介质的
电容率 (介电系数) (充满电解质后, 电容器的电容增大为 \(5.47 E=\frac{E_{0}}{\varepsilon}\) 在平行板电容器的两极板间充满各项同性均 匀电解质后, 两板间的电势差和场强都减小到板间为真空时 的 \(1 / \varepsilon_{r}\)
\(49 \mathrm{E}=\mathrm{E}_{0}+\mathrm{E}^{\prime}\) 电解质内的电场 (省去几个)
- \(60 E=\frac{D}{\varepsilon}=\frac{\rho R^{3}}{3 \varepsilon_{0} \varepsilon_{r} r^{2}}\) 半径为 \(\mathrm{R}\) 的均匀带点球放在相对 电容率 \(\varepsilon_{r}\) 的油中, 球外电场分布
\(5.61 W=\frac{Q^{2}}{2 C}=\frac{1}{2} Q U=\frac{1}{2} C U^{2}\) 电容器储能
6.稳恒电流的磁场
- \(1 I=\frac{d q}{d t}\) 电流强度 (单位时间内通过导体任一横截面 的电量）
\(6.2 j=\frac{d I}{d S_{\text {垂直 }}} \hat{j} \quad\) 电流密度 \(\quad\left(\right.\) 安/米 \(\left.{ }^{2}\right)\)
- \(4 I=\int_{S} j d \cos \theta=\int_{S} j \bullet d S\) 电流强度等于通过 \(\mathrm{S}\) 的电
流密度的通量
\(5 \oint_{S} j \bullet d S=-\frac{d q}{d t}\) 电流的连续性方程
\(6 \oint_{S} j \bullet d S=0\) 电流密度 \(\mathrm{j}\) 不与与时间无关称稳恒电流, 电场称稳恒电场。
\(7 \xi=\int_{-}^{+} E_{K} \bullet d l\) 电源的电动势( 自负极经电源内部到正 极的方向为电动势的正方向）
\(8 \xi=\oint_{L} E_{K} \bullet d l\) 电动势的大小等于单位正电荷绕闭合回 路移动一周时非静电力所做的功。在电源外部 \(E_{k}=0\) 时, 6.8 就成 6.7 了
\(6.9 B=\frac{F_{\max }}{q v}\) 磁感应强度大小
毕奥-萨伐尔定律: 电流元 Id1 在空间某点 \(P\) 产生的磁感应 轻度 \(\mathrm{dB}\) 的大小与电流元 Idl 的大小成正比, 与电流元和电 流元到 \(\mathrm{P}\) 电的位矢 \(\mathrm{r}\) 之间的夹角 \(\theta\) 的正弦成正比, 与电流元 到 \(\mathrm{P}\) 点的距离 \(\mathrm{r}\) 的二次方成反比。
6.10 \(d B=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{I d l \sin \theta}{r^{2}} \quad \frac{\mu_{0}}{4 \pi}\) 为 比 例 系 数 ,
\(\mu_{0}=4 \pi \times 10^{-7} T \bullet \mathrm{m} / \mathrm{A}\) 为真空磁导率
\(14 B=\int \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{I d l \sin \theta}{r^{2}}=\frac{\mu_{0} I}{4 \pi R}\left(\operatorname{con} \theta_{1}-\cos \theta_{2}\right) \quad\) 载流 直导线的磁场 ( \(R\) 为点到导线的垂直距离)
\(15 B=\frac{\mu_{0} I}{4 \pi R}\) 点恰好在导线的一端且导线很长的情况
\(6.17 B=\frac{\mu_{0} I R^{2}}{2\left(R^{2}+\chi^{2}\right)^{3 / 2}}\) 圆形载流线圈轴线上的磁场分
\(.18 B=\frac{\mu_{0} I}{2 R}\) 在圆形载流线圈的圆心处, 即 \(\mathbf{x}=\mathbf{0}\) 时磁场
平面载流线圈的磁场也常用磁矩 \(\mathrm{P}_{\mathrm{m}}\), 定义为线圈中的电流 \(\mathrm{I}\) 线方向相同。
- \(22 P_{m}=N I S n\) 线圈有 \(\mathrm{N}\) 巾巾
6.23 \(B=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{2 P_{m}}{x^{3}}\) 圆形与非圆形平面载流线圈的磁场
\(6.24 B=\frac{\mu_{0} \varphi I}{4 \alpha \pi R} \quad\) 扇形导线圆心处的磁场强度 \(\varphi=\frac{L}{R}\) 为圆弧所对的圆心角 (弧度)
\(6.26 B=\frac{\mu_{0}}{4} \frac{q v \times r}{r^{2}} \mathrm{~ 运 动 电 荷 单 个}\) \(6.26 d \Phi=\) \(6.28 \oint_{S} B \bullet d S=0\) 通过闭合曲面的总磁通量等于零
\(6.29 \oint_{L} B \bullet d l=\mu_{0} I\) 磁感应强度 \(\mathbf{B}\) 沿任意闭合路径 \(\mathbf{L}\) 的积
分
沿任意闭合路烃的环路积分, 等于这个闭合路径所包围的电 流的代数和与真空磁导率 \(\mu_{0}\) 的乘积 (安培环路定理或磁场环
路定理)
\(6.31 B=\mu_{0} n I=\mu_{0} \frac{N}{l} I\) 螺线管内的磁场 \(B=\frac{\mu_{0} I}{2 \pi r}\) 无限长载流直圆柱面的磁场（长直圆柱面外 磁场分布与整个柱面电流集中到中心轴线同）
\(6.33 B=\frac{\mu_{0} N I}{2 \pi r}\) 环形导管上绕 \(\mathbf{N}\) 匝的线圈（大圈与小圈之 间有磁场, 之外之内没有）
\(6.34 d F=B I d l \sin \theta\) 安培定律: 放在磁场中某点处的电流 元 Idl, 将受到磁场力 \(\mathrm{dF}\), 当电流元 Idl 与所在处的磁感应强 度 \(\mathrm{B}\) 成任意角度 \(\theta\) 时, 作用力的大小为:
\(6.35 d F=I d l \times B \quad \mathrm{~B}\) 是电流元 \(\mathrm{Idl}\) 所在处的磁感应强度 \(6.36 F=\int_{L} I d l \times B\)
\(6.37 F=I B L \sin \theta\) 方向垂直与导线和磁场方向组成的平
面, 右手螺旋确定
\(6.38 f_{2}=\frac{\mu_{0} I_{1} I_{2}}{2 \pi a}\) 平行无限长直载流导线间的相互作用, 电流方向相同作用力为引力，大小相等, 方向相反作用力相 斥。 \(a\) 为两导线之间的距离。
\(6.39 f=\frac{\mu_{0} I^{2}}{2 \pi a} \quad I_{1}=I_{2}=I\) 时的情况
6.40 \(M=I S B \sin \theta=P_{m} \bullet B \sin \theta\) 平面载流线圈力矩
- \(42 F=q v B \sin \theta\) (离子受磁场力的大小) (垂直与速度 方向, 只改变方向不改变速度大小
\(6.43 F=q v \times B \quad(\mathrm{~F}\) 的方向即垂直于 \(\mathrm{v}\) 又垂直于 \(\mathrm{B}\), 当 \(\mathrm{q}\)
\(6.44 F=q(E+v \times B)\) 洛伦兹力, 空间既有电场又有磁场 \(6.44 R=\frac{m v}{q B}=\frac{v}{(q / m) B}\) 带点离子速度与 \(\mathrm{B}\) 垂直的情况做
\(6.46 R=\frac{m v \sin \theta}{q B}\) 带点离子 \(\mathrm{v}\) 与 \(\mathrm{B}\) 成角 \(\theta\) 时的情况。做螺
\(6.47 h=\frac{2 \pi m v \cos \theta}{q B}\) 螺距
\(6.48 U_{H}=R_{H} \frac{B I}{d}\) 霍尔效应。导体板放在磁场中通入电流 在导体板两侧会产生电势差
\(6.49 U_{H}=v B l 1\) 为导体板的宽度
6.50 \(U_{H}=\frac{1}{n q} \frac{B I}{d}\) 霍尔系数 \(R_{H}=\frac{1}{n q}\) 由此得到 6.48 公式 \(6.51 \mu_{r}=\frac{B}{B_{0}}\) 相对磁导率(加入磁介质后磁场会发生改变)
大于 1 顺磁质小于 1 抗磁质远大于 1 铁磁质
6.52 \(B=B_{0}+B^{\prime}\) 说明顺磁质使磁场加强
\(6.55 \oint_{L} B \bullet d l=\mu_{0}\left(N I+I_{S}\right)\) 有磁介质时的安培环路定理 \(\mathrm{I}_{\mathrm{S}}\) 为介质表面的电流
6.58 \(B=\mu H \quad \mathrm{H}\) 成为磁场强度矢量
\(6.60 H=n I\) 无限长直螺线管磁场强度
电磁感应现象: 当穿过闭合导体回路的磁通量发生变化时, 回路中就产生感应电动势。
楞次定律：闭合回路中感应电流的方向, 总是使得由它所激 发的磁场来阻碍感应电流的磁通量的变化
任一给定回路的感应电动势 \(\varepsilon\) 的大小与穿过回路所围面积 的磁通量的变化率 \(d \Phi_{m} / d t\) 成正比
\(7.1 \xi=\frac{d \Phi}{d t}\)
\(7.2 \quad \xi=-\frac{d \Phi}{d t}\)
\(7.3 \xi=-\frac{d \Psi}{d t}=-N \frac{d \Phi}{d t} \quad \Psi\) 叫做全磁通, 又称磁通匝链
数, 简称磁链表示穿过过各币线圈磁通量的总和
\(7.4 \xi=-\frac{d \Phi}{d t}=-B l \frac{d x}{d t}=-B l v\) 动生电动势
\(7.5 E_{k}=\frac{f_{m}}{-e}=v \times B\) 作用于导体内部自由电子上的磁场力
就是提供动生电动势的非静电力, 可用洛伦兹除以电子电荷
\(7.6 \xi=\int^{+} E_{k} \bullet d l=\int^{+}(v \times B) \bullet d l\)
\(7.7 \xi=\int_{a}^{b}(v \times B) \bullet d l=B l v\) 导体棒产生的动生电动势
\(7.8 \xi=B l v \sin \theta\) 导体棒 \(\mathrm{v}\) 与 B 成一任一角度时的情况
\(7.9 \xi=\oint(v \times B) \bullet d l\) 磁场中运动的导体产生动生电动势的
普遍公式
\(7.10 P=\xi \bullet I=I B l v\) 感应电动势的功率
\(7.11 \xi=N B S \omega \sin \omega t\) 交流发电机线圈的动生电动势
\(7.12 \xi_{m}=N B S \omega\) 当 \(\sin \omega t=1\) 时, 电动势有最大值 \(\xi_{m}\)
所以 7.11 可为 \(\xi=\xi_{m} \omega \sin \omega t\)
\(7.14 \xi=-\int_{s} \frac{d B}{d t} \bullet d S\) 感生电动势
\(7.15 \xi=\oint_{L} \cdot \mathrm{d} l\)
感生电动势与静电场的区别在于一是感生电场不是由电荷 激发的, 而是由变化的磁场所激发; 二是描述感生电场的电 场线是闭合的，因而它不是保守场, 场强的环流不等于零, 而静电场的电场线是不闭合的, 他是保守场, 场强的环流恒 而靘电场 等于零。
\(7.18 \Psi_{2}=M_{21} I_{1} \quad \mathrm{M}_{21}\) 称为回路 \(\mathrm{C}_{1}\) 对 \(\mathrm{C} 2\) 额互感系数。由 \(\mathrm{I} 1\) 产生的通过 \(\mathrm{C} 2\) 所围面积的全磁通
7.19 \(\Psi_{1}=M_{12} I_{2}\)
\(7.20 M_{1}=M_{2}=M\) 回路周围的磁介质是非铁磁性的, 则 互感系数与电流无关则相等
\(7.21 M=\frac{\Psi_{1}}{I_{2}}=\frac{\Psi_{2}}{I_{1}}\) 两个回路间的互感系数 (互感系数在 数值上等于一个回路中的电流为 1 安时在另一个回路中的全 应迕通
\(7.22 \quad \xi_{2}=-M \frac{d I_{1}}{d t} \quad \xi_{1}=-M \frac{d I_{2}}{d t}\) 互感电动势
\(7.23 M=-\frac{\xi_{2}}{d I_{1} / d t}=-\frac{\xi_{1}}{d I_{2} / d t}\) 互感系数
\(7.24 \Psi=L I\) 比例系数 \(\mathrm{L}\) 为自感系数, 简称自感又称电感
\(7.25 L=\frac{\Psi}{I}\) 自感系数在数值上等于线圈中的电流为 \(1 \mathrm{~A}\) 时 通过自身的全磁通
\(7.26 \xi=-L \frac{d I}{d t}\) 线圈中电流变化时线圈产生的自感电动势
\(7.27 L=-\frac{\xi}{d I / d t}\)
\(7.28 L=\mu_{0} n^{2} V\) 螺线管的自感系数与他的体积 \(\mathrm{V}\) 和单位长
度凧数的二次方成正比
\(7.29 W_{m}=\frac{1}{2} L I^{2}\) 具有自感系数为 \(\mathrm{L}\) 的线圈有电流 \(\mathrm{I}\) 时所储
存的磁能
\(7.30 L=\mu n^{2} V\) 螺线管内充满相对磁导率为 \(\mu_{r}\) 的磁介质的
情况下螺线管的自感系数
\(7.31 B=\mu n I\) 螺线管内充满相对磁导率为 \(\mu_{r}\) 的磁介质的情
况下螺线管内的磁感应强度
\(7.32\)
\(7.33 W=-1=20=1\)
\(7.33 W_{m}=\frac{1}{2} \int_{V} B H d V\) 磁场内任一体积 \(V\) 中的总砶场能量 \(N I\) 环状铁芯线圈内的磁坸溒度
\(7.34 H=\frac{N I}{2 \pi r}\) 环状铁芯线圈内的磁场强度
\(7.35 H=\frac{I r}{2 \pi R^{2}}\) 圆柱形导体内任一点的磁场强度
8.机械振动
8.1 弹簧振子作简谐运动:
(1)加速度: \(a=\frac{F}{m}=-\frac{k x}{m}=-\omega^{2} x\)
(2)微分方程: \(\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-\omega^{2} x\)
(3)运动方程: \(x=A \cos (\omega t+\varphi)\)
或 \(x=A \sin \left(\omega t+\varphi^{\prime}\right) \quad\) 其中 \(\varphi^{\prime}=\varphi+\frac{\pi}{2}\)
(4)弹簧振子的角频率、频率、周期、劲度系数之间的关系:
\(\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=2 \pi v\);
\(T=\frac{2 \pi}{\omega}=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}\);
\(v=\frac{\omega}{2 \pi}=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}\);
\(v=\frac{1}{T}\)
(5)简谐振动的速度: \(u=\frac{d x}{d t}=-\omega A \sin (\omega t+\varphi)\)
(6)简谐运动的加速度: \(\quad a=\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=\frac{d u}{d t}=-\omega^{2} A \cos (\omega t+\varphi)\)
8.2 单摆作简谐运动
(1)运动方程: \(\frac{d^{2} \theta}{d t^{2}}=-\frac{g}{l} \theta\)
(2)角频率和周期: \(\omega=\sqrt{\frac{g}{l}} \quad T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}\)
8.3 复摆作简诣运动
(1)运动方程: \(\frac{d^{2} \theta}{d t^{2}}=-\frac{m g l}{J} \theta\)
(2)角频率和周期: \(\omega=\sqrt{\frac{m g l}{J}} T=2 \pi \sqrt{\frac{J}{m g l}}\)
8.4 简谐运动的振幅、初相:
\(A=\sqrt{x_{0}^{2}+\frac{u_{0}^{2}}{\omega^{2}}}\);
\(\tan \varphi=-\frac{u_{0}}{\omega x_{0}}\) (其中 \(x_{0} 、 v_{0}\) 分别为 \(\mathrm{t}=0\) 时物体相对平衡 位置的位移和速度）
8.5 弹簧振子作简谐运动的总能量（守恒）、动能、势能：
\(E=\frac{1}{2} m u^{2}+\frac{1}{2} k x^{2}=\frac{1}{2} m \omega^{2} A^{2}=\frac{1}{2} k A^{2}\);
\(E_{k}=\frac{1}{2} m u^{2}=\frac{1}{2} m A^{2} \omega^{2} \sin ^{2}(\omega t+\varphi)\);
\(E_{p}=\frac{1}{2} k x^{2}=\frac{1}{2} k A^{2} \omega^{2} \cos (\omega t+\varphi)\)
8.6 两个同方向同频率简谐振动的合成
设 \(x_{1}=A \cos \left(\omega t+\varphi_{1}\right), x_{2}=A \cos \left(\omega t+\varphi_{2}\right)\), 则:
(1)合位移: \(x=A \cos (\omega t+\varphi)\);
(2)合振幅: \(A=\sqrt{A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2 A_{1} A_{2} \cos \left(\varphi_{2}-\varphi_{1}\right)}\)
(3)合初相: \(\operatorname{tg} \varphi=\dfrac{A_{1} \sin \varphi_{1}+A_{2} \sin \varphi_{2}}{A_{1} \cos \varphi_{1}+A_{2} \cos \varphi_{2}}\)
8.7 两个相互垂直的同频率的简谐振动的合成
设 \(x=A_{1} \cos \left(\omega t+\varphi_{1}\right), y=A_{2} \cos \left(\omega t+\varphi_{2}\right)\), 则:
合振动的轨迹方程:
- \(\frac{x^{2}}{A_{1}^{2}}+\frac{y^{2}}{A_{2}^{2}}-\frac{2 x y}{A_{1} A_{2}} \cos \left(\varphi_{2}-\varphi_{1}\right)=\sin ^{2}\left(\varphi_{2}-\varphi_{1}\right)\);
(2)特别地, 当相位差
\(\left\{\begin{array}{l}\Delta \varphi=\varphi_{2}-\varphi_{1}=0 \text { 时, 则 } y=\frac{A_{2}}{A_{1}} ; \\ \Delta \varphi=\varphi_{2}-\varphi_{1}=\frac{\pi}{2} \text { 时, 则 } \frac{x^{2}}{A_{1}^{2}}+\frac{y^{2}}{A_{2}^{2}}=1\end{array}\right.\)
9.机械波
9.1 波速、波长、周期、频率之间的关系: \(u=v \lambda=\frac{\lambda}{T}\)
9.2 平面简谐波的波函数 (波动方程):
(1)波源为原点、初相为零、沿 \(\mathrm{Ox}\) 轴正向传播:
\(\left\{\begin{array}{l}\text { 1.已知角频率 } \omega \text { 、波速 } u: y=A \cos \omega\left(t-\frac{x}{u}\right) \\ \text { 2.已知周期 } T \text { 、波长 } \lambda: y=A \cos 2 \pi\left(\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda}\right)\end{array}\right.\)
(2)波函数的一般形式: \(y=A \cos \left[\omega\left(t-\frac{x-x_{0}}{u}\right)+\varphi\right]\)
(3)相位差、波程差、时间差之间的关系: \(\frac{\Delta \varphi}{2 \pi}=\frac{\Delta x}{\lambda}=\frac{\Delta t}{T}\)
9.3 波的能量、能流:
(1)波传播过程中质元的动能和势能相等:
① \(E_{k}=E_{p}=\frac{1}{2} \rho \Delta V A^{2} \omega^{2} \sin ^{2} \omega\left(t-\frac{x}{u}\right)\)
(2)能量密度: \(\omega=\frac{E}{\Delta V}=\rho A^{2} \omega^{2} \sin ^{2} \omega\left(t-\frac{x}{u}\right)\)
(3)平均能量密度: \(\bar{\omega}=\frac{1}{2} \rho A^{2} \omega^{2}\)
(4)平均能流: \(\overline{\mathrm{P}}=\bar{\omega} u \mathrm{~S}\)
(5)能流密度 (波的强度): \(I=\frac{\bar{P}}{S}=\bar{\omega} u=\frac{1}{2} \rho A^{2} \omega^{2} u\) 9.4 波的干涉:
(1)条件: 频率相同、振动方向平行、相位相同或相位差恒定 的两列波相遇
(2)判断干涉加强或减弱的依据:
\(\left\{\begin{array}{l}1 . \Delta \varphi=\varphi_{2}-\varphi_{1}-2 \pi \frac{r_{2}-r_{1}}{\lambda} \text { (普遍适用) } \\ 2 . \delta=r_{2}-r_{1} \text { (仅 } \varphi_{2}=\varphi_{1} \text { 时适用) }\end{array}\right.\)
( \(r_{1} 、 r_{2}\) 分别为两相干波相遇点 \(\mathrm{P}\) 与波源 \(S_{1} 、 S_{2}\) 的距离)
\(\Delta \varphi\) 判据: \(\Delta \varphi=\left\{\begin{array}{l}\pm 2 k \pi, k=0,1,2, \cdots \\ \pm(2 k+1) \pi, k=0,1,2, \cdots\end{array}\right.\)
\(\delta\) 判据: \(\delta=\left\{\begin{array}{l}\pm k \lambda, k=0,1,2, \cdots \\ \pm(2 k+1) \frac{\lambda}{2}, k=0,1,2, \cdots\end{array}\right.\)
9.5 驻波:
- 定义: 驻波是由振幅、频率和传播速度都相同的两列相干波在同一条直线上沿相反的方向传播时叠加形成的一种殊
(2)驻波方程及其由来: 设两列方向相反的相干波
\(y_{1}=A \cos \left(\omega t-\frac{2 \pi x}{\lambda}\right), y_{2}=A \cos \left(\omega t+\frac{2 \pi x}{\lambda}\right)\),
则它们相遇形成的驻波方程为: \(y=y_{1}+y_{2}=2 A \cos \dfrac{2 \pi}{\lambda}x \cos \omega t\)
振幅：\(\left| 2 A \cos \dfrac{2 \pi}{\lambda}x \right|\)
(3)驻波的波节、波腹和能量:
相邻波节 (波腹) 距离: \(x_{n+1}-x_{n}=\frac{\lambda}{2}\)
波节：\(\cos \dfrac{2 \pi}{\lambda}x=0\)
波腹：\(\left| \cos \dfrac{2 \pi}{\lambda}x \right|=1\)
驻波能量的势能形式主要集中在波节附近, 动能形式主要集中在波腹附近
半波损失：相位突变\(\pi\)
9.6 电磁波、声波
(1)电磁波波速: \(u=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon \mu}} （ \varepsilon 、 \mu\) 分别为介质的电容率和磁 导率)
(2)声强级: \(\quad L=10 \lg \frac{I}{I_{0}}\)
10.电磁震荡与电磁波
10.1 \(\frac{d^{2} q}{d t^{2}}+\frac{1}{L C} q=0\) 无阻尼自由震荡 (有电容 \(\mathrm{C}\) 和电感 \(\mathrm{L}\) 组成的电路） 10.2 \(q=Q_{0} \cos (\omega t+\varphi)\) 10.3 \(I=-I_{0} \sin (\omega t+\varphi)\) 10.4 \(\omega=\sqrt{\frac{1}{L C}} \quad T=2 \pi \sqrt{L C} \quad v=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{1}{L C}}\) 震荡的圆 频率 (角频率) 、周期、频率 10.6 \(\sqrt{\varepsilon} E_{0}=\frac{B_{0}}{\sqrt{\mu}}\) 电磁波的基本性质 (电矢量 \(\mathrm{E}\), 磁矢量 \(\mathrm{B}\) ) 10.7 \(\sqrt{\varepsilon} E=\frac{1}{\sqrt{\mu}} B, \varepsilon\) 和 \(\mu\) 分别为真空中的磁导率和电容率 10.8 \(W=W_{e}+W_{m}=\frac{1}{2}\left(\varepsilon E^{2}+\frac{B}{\mu}\right)\) 电磁场的总能量密度 10.10 \(S=W \bullet v=\frac{1}{\mu} E B\), 电磁波的能流密度 \(v=\frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}}\)
11.波动光学
\(11.1\) 光的干涉: (1)杨氏双峰于涉 (1)波程差: \(\Delta r=r_{2}-r_{1}=d \sin \theta\) (2)双缝干涉加强或减弱的判据: \(\Delta r 、 x\) (3) \(\Delta r=d \sin \theta=\left\{\begin{array}{l}\pm k \lambda, k=0,1,2, \cdots(B \text { 处为明纹 }) \\ \pm(2 k+1) \frac{\lambda}{2} k=0,1,2, \cdots(B \text { 处为暗纹 })\end{array}\right.\) (其中 \(d\) 为双缝的距离, \(B\) 为屏幕上一点, \(\theta\) 为 \(O_{1} O\) 与 \(O_{1} B\) 所成的夹角) (4) \(x=\left\{\begin{array}{l}\pm k \frac{d^{\prime}}{d} \lambda, k=0,1,2, \cdots \text { (此处为明纹中心) } \\ \pm(2 k+1) \frac{d^{\prime}}{d} \frac{\lambda}{2}, k=0,1,2, \cdots \text { (此处为暗纹中心) }\end{array}\right.\) (其中 \(x\) 为屏幕上一点 \(B\) 与屏幕中心点 \(O\) 的距离, \(d\) 双缝的 距离, \(d^{\prime}\) 为缝到屏幕的垂直距离) (5)相邻明纹或暗纹间的距离: \(\Delta x=x_{k+1}-x_{k}=\frac{d^{\prime}}{d} \lambda\) (6)附加波程差: 光从光速较大 (折射率较小) 的介质射向光 速较小 (折射率较大) 的介质时, 反射光的相位较之入射光 的相位跃变了 \(\pi\)
(2)光程:
(1)光程差: \(\Delta=n_{1} L_{1}-n_{2} L_{2}\)
(2)相位差: \(\Delta \varphi=2 \pi \frac{\Delta}{\lambda}\)
(3)干涉加强或减弱的判据: \(\Delta 、 \Delta \varphi\)
- \(\Delta=\left\{\begin{array}{l}\pm k \lambda, k=0,1,2, \cdots(\text { 干涉加强) } \\ \pm(2 k+1) \frac{\lambda}{2}, k=0,1,2, \cdots(\text { 干涉减 }\end{array}\right.\)
\(\Delta \varphi=\{\pm 2 k \pi, k=0,1,2, \cdots(\) (涉加强)
- \(\Delta \varphi=\left\{\begin{array}{l}\pm 2 k \pi, k=0,1,2, \cdots \text { (千徏加强) } \\ \pm(2 k+1) \pi, k=0,1,2, \cdots(\text { 干涉减弱 })\end{array}\right.\)
(3)薄膜干涉:
(1)两反射光光程差: \(\Delta_{r}=2 d \sqrt{n_{2}^{2}-n_{1}^{2} \sin ^{2} i}+\frac{\lambda}{2}, n_{2}\) 为
薄膜的折射率 (特别地: 垂直入射时, \(\Delta_{r}=2 n_{2} d+\frac{\lambda}{2}\) )
(2)两反射光干涉条件:
\(\Delta_{r}=\left\{\begin{array}{l}\pm k \lambda, k=0,1,2, \cdots \text { (干涉加强) } \\ \pm(2 k+1) \frac{\lambda}{2}, k=0,1,2, \cdots \text { (干涉减牴 }\end{array}\right.\)
(3)两透射光线总光程差: \(\Delta_{t}=2 d \sqrt{n_{2}^{2}-n_{1}^{2} \sin ^{2} i}\)
- \(\Delta_{r}\) 与 \(\Delta_{t}\) 相差 \(\frac{\lambda}{2}\), 即反射光干涉加强(减弱)时, 透射光干涉减
弱(加强)
(4)憵尖干涉(等厚干涉):
(1)光程差: \(\Delta=2 n d+\frac{\lambda}{2}\) (其中 \(n\) 憵尖层的空气折射率, \(d\) 为
憵尖厚度)
(2)干涉条件: \(\Delta=\left\{\begin{array}{l}\pm k \lambda, k=0,1,2, \cdots(\text { 干涉加强) } \\ \pm(2 k+1) \frac{\lambda}{2}, k=0,1,2, \cdots \text { (干涉减弱) }\end{array}\right.\)
(5)牛顿环:
(1)光程差: \(\Delta=2 d+\frac{\lambda}{2}\)
(2)明、暗环半径判据:
\(r=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{\left(k-\frac{1}{2}\right) R \lambda}, k=1,2, \cdots(\text { 明环半'径) } \\ \sqrt{k R \lambda}, k=0,1,2, \cdots \text { (暗环半径) }\end{array}\right.\)
\((\sqrt{k R \lambda}, k=0,1,2, \cdots\) (暗环半径)
(3)在牛顿环实验中, 若评凸透镜和平板玻璃间充满折射率为
\(n\) 的液体后, 明暗环判据：
\(r=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{\frac{(2 k-1) R \lambda}{2 n}}, k=1,2, \cdots(\text { 明环半径 }) \\ \sqrt{\frac{k R \lambda}{n}}, k=0,1,2, \cdots \text { (暗环半径) }\end{array}\right.\)
(6)迈克尔孙干涉：
平面反射镜移动距离: \(\Delta d=\Delta n \frac{\lambda}{2}\) ( \(\Delta n\) 为移动的条纹数目)
\(11.2\) 光的衍射 :
(1)单缝衍射:
(1)光程差: \(\Delta=b \sin \theta\) (其中 \(b\) 为单缝宽, \(\theta\) 为衍射角)
(2)干涉条件: \(\Delta=\left\{\begin{array}{l}\pm k \lambda, k=0,1,2, \cdots \text { (干涉加强) } \\ \pm(2 k+1) \frac{\lambda}{2}, k=0,1,2, \cdots(\text { 干涉减弱) }\end{array}\right.\)
(3)中央明纹宽度: \(\Delta x_{0}=\frac{2 \lambda f}{b}\)
其他任意两暗条纹中心距离: \(\Delta x=\frac{\lambda f}{b}\)
(2)圆孔衍射:
- 艾里斑对透镜光心的张角 \(2 \theta\) 与圆孔直径 \(D\) 、单色光波长
\(\lambda\) 的关系: \(2 \theta=\frac{d}{f}=2.44 \frac{\lambda}{D}\)
(2)最小分辨角: \(\theta_{0}=\frac{1.22 \lambda}{D}\left(\frac{1}{\theta_{0}}\right.\) 为分辨本领)
(3)光栅衍射:
(1)光程差: \(\Delta=\left(b+b^{\prime}\right) \sin \theta\) (其中, \(b+b^{\prime}\) 为光栅常数)
(2)光栅方程: \(\left(b+b^{\prime}\right) \sin \theta=\pm k \lambda, k=0,1,2, \cdots\)
\(11.3\) 光的偏振性：
- 强度为 \(I_{0}\) 的光经过起偏器后的光强为: \(\frac{I_{0}}{2}\)
(2)马吕斯定律: \(I=I_{0} \cos ^{2} \alpha\) ( \(I\) 为强度为 \(I_{0}\) 的偏振光经过
检偏器后出射光的强度)
(3)布儒斯特定律: 当入射角 \(i_{B}\) 满足 \(\tan i_{B}=\frac{n_{2}}{n_{1}}\) 时, 反射光中
就只有垂直于入射面的光振动, 而没有平行于入射面的光振
动, 这时反射光为偏振光, 而折射光为部分偏振光
(其中 \(i_{B}\) 叫起偏角或布儒斯特角)
第十二章 狭义相对论基础
\(12.25 l=l^{\prime} \sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}} \quad\) 狭义相对论长度变换
\(12.26 \Delta t=\frac{\Delta t^{\prime}}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}\) 狭义相对论时间变换
\[\begin{aligned}&12.27 u_{x}=\frac{u_{x}^{\prime}+v}{1+\frac{v u_{x}^{\prime}}{c^{2}}} \quad \text { 狭义相对论速度变换 } \\&12.28 m=\frac{m_{0}}{\sqrt{1-(v / c)^{2}}} \text { 物体相对观察惯性系有速度 } \mathrm{v} \text { 时的 }\end{aligned}\]
质量
\(12.30 d E_{k}=c^{2} d m\) 动能增量
\(12.31 E_{k}=m c^{2}-m_{0} c^{2}\) 动能的相对论表达式
\(12.32 E_{0}=m_{0} c^{2} E=m c^{2}\) 物体的静止能量和运动时的
能量 (爱因斯坦纸能关系式)
\(12.33 E^{2}=c^{2} p^{2}+m_{0}^{2} c^{4}\) 相对论中动量和能量的关系式 \(\mathrm{p}=\mathrm{E} / \mathrm{c}\)
第十三章 波和粒子
\(13.1 \mathrm{eV} \mathrm{O}_{0}=\frac{1}{2} m v_{m}^{2} \quad \mathrm{~V}_{0}\) 为遏制电压, \(\mathrm{e}\) 为电子的电量, \(\mathrm{m}\) 为 电子质量, \(\mathrm{v}_{\mathrm{m}}\) 为电子最大初速
\(13.2 \mathrm{eV}_{0}=\frac{1}{2} m v_{m}^{2}=h v-A \mathrm{~h}\) 是一个与金属无关的常数,
\(\mathrm{A}\) 是一个随金属种类而不同的定值叫逸出功。遏制电压与入 射光的强度无关, 与入射光的频率 \(\mathrm{v}\) 成线性关系
\(13.3 h v=\frac{1}{2} m v_{m}^{2}+A\) 爱因斯坦方程
\(13.4 m_{\text {光 }}=\frac{\varepsilon}{c^{2}}=\frac{h v}{c^{2}}\) 光子的质量
\(13.5 p=m_{\text {光 }} \bullet c=\frac{h v}{c}=\frac{h}{\lambda}\) 光子的动量
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